【种花家务·物理】4-3-09透镜成象的公式『数理化自学丛书6677版』

【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】『数理化自学丛书』其实还有新版，即80年代的改开版，改开版内容较新而且还又增添了25本大学基础自学内容，直接搞出了一套从初中到大学的一条龙数理化自学教材大系列。不过我依然选择6677版，首先是因为6677版保留了很多古早知识，让我终于搞明白了和老工程师交流时遇到的奇特专业术语和计算模式的来由。另外就是6677版的版权风险极小，即使出版社再版也只会再版80年代改开版。我认为6677版不失为一套不错的自学教材，不该被埋没在故纸堆中，是故才打算利用业余时间，将『数理化自学丛书6677版』上传成文字版。 

第三章光学器件

【山话||  本系列专栏中的力单位达因等于10⁻⁵牛顿；功的单位尔格等于10⁻⁷焦耳；热量的单位卡路里等于4.186焦耳；电荷的单位静库（1库伦=3×10⁹静库）；电势的单位静伏等于300伏特。另外这套老教材中力的单位常用公斤、克等，但如今是不允许的，力是不能使用质量单位的。】   

§3-9透镜成象的公式

【01】透镜成象的各种情况，包括凸透镜成象、凹透镜成象的性质（虚象、实象）、位置、大小等，还可以通过公式的计算得出来。这里先来推导透镜成象的公式。

【02】图3·60是凸透镜成实象时候的光路图。图3·61是物体放在凸透镜的焦点 F 以内成虚象时候的光路图。图3·62是凹透镜成虚象时候的光路图。以上图中 AB 表示放在透镜前的物体，A'B' 是 AB 由透镜所成的象。从这些透镜成象的光路图中，可以看出：△ABO 和 △A'B'O 是相似的直角三角形，△DOF 和 △A'B'F 也是相似的直角三角形，所以有；；因为 DO＝AB，所以得出的结果是：

【03】对于凸透镜成实象的情况（图3·60），可用 BO＝u，OB'＝v，OF＝f，FB'＝v－f 代入(1)式得，化简后得到 fv＋fu＝uv，用 uvf 除等式两边得

【04】对于凸透镜成虚象的情况（图3·61），这时 FB'＝v＋f，代入(1)式得 ，化简后得到 fv－fu＝uv，用 uvf 时除等式两边得  。

【05】这个结果和(2)式比较，只是相差一个符号，如果把虚象的象距 v 算作负值代入(2)式，那么显然可以看出，公式(2)也是适用于凸透镜成虚象的情况的。

【06】对于凹透镜成象的情况（图3·62），这时 FB'＝f－v，代入(1)式得  ，化简后得到 fv－fu＝－uv，用 uvf 除等式两边得   。

【07】这个结果和(2)式比较，有两项符号不同，如果把凹透镜的焦距 f 和所成虚象的象距 v 都用负值代入(1)式，那么公式(2)也能适用于凹透镜成象的情况。

【08】所以，公式对于透镜成象的各种情况都是适合的。利用这个公式，只要知道物体离开透镜的距离 u 和透镜的焦距 f，（凸透镜的焦距算作正值，凹透镜的焦距算作负值）就可以计算出象的性质和位置。（v 的数值表示象离开透镜的距离，v 的正负表示象的虚实）一般地说，只要知道 u、v、f 当中的任意二个量，第三个量总可以从公式中计算出来。

例5.有一物体放在距透镜 20 厘米远的地方，问在下列几种情况下，所用的透镜是凸透镜还是凹透镜？(a)象成在透镜的另一侧距光心 40 厘米的地方；(b)象和物体在透镜的同一侧距光心 40 厘米的地方；(c)象和物体在透镜的同一侧距光心 10 厘米的地方。

【解】

(a)已知：u＝20 厘米，象在透镜的另一侧，象是实象，v＝40厘米，根据公式可以算出：，f＝13.3厘米。

        f 是正值，所以这个透镜是凸透镜，焦距是 13.3 厘米。

(b)已知：u＝20厘米，象和物体在透镜的同一侧，象是虚象，v＝－40厘米。根据公式可以算出：，f＝40厘米。

        所以知道这个透镜仍是凸透镜，焦距是 40 厘米。由于物距 u＝20厘米，小于焦距 f＝40厘米，所以形成虚象。

(c)已知：u＝20厘米，象和物体在透镜的同一侧，象是虚象，v＝－10厘米。根据公式可以算出：，f＝－20厘米。

        焦距是负值，所以知道这个透镜是凹透镜，焦距为 20 厘米。