第一章 拓扑空间简介

集论初步

本书用代表“定义为”，用代表“恒等”或“记作”。

若是的子集, 则的补集(complement)定义为。

De Morgan律：

Cartesian product。

•  的每一元素有个自然坐标。

的元素在下的像集记为。

拓扑空间

拓扑，开集。

• 称为的通常拓扑。

实值函数的连续性和可微性用表示，其中为非负整数， 代表连续， 代表阶导数存在并连续， 代表光滑。

称为的一个邻域(neighborhood)若。自身是开集的邻域称为开邻域。

称为的一个邻域, 若。

• 是开集的充要条件是。

的边界(boundary)记作或。

紧性

• 空间即Hausdorff空间。

• $X$紧, $f: X \to \mathbb{R}$连续， 则$f[X]$有界且$f$取最大值和最小值。

极限点: 任一开领域含有序列的无穷项。