二重积分的分部积分法

题目选自2011年考研数学一

已知函数具有二阶连续偏导数，

且，

计算二重积分

本题中给出的函数是抽象函数，常见的极坐标这类二重积分计算方法失效，只能尝试直角坐标法计算，同时考虑到被积函数中存在函数偏导数，可以联想到一元函数中的分部积分法。

首先化为累次积分

其中对y积分就行凑微分

带入原积分

其中第一个积分继续采用分部积分

由于题设中，，所以积分结果为0

第二个积分首先进行积分换序

单独计算对x的积分

由于题设中，

所以

最终

题目分析：二重积分的分部积分法在当年属于第一次在考研数学中出现的考题，具有创新性，计算过程比较冗长，要分清楚对x积分还是对y积分。虽然，从未出现过，但是，题目中被积函数带有f(x,y)的导数确实起到一定的提示作用。总体来说，具有创新性和部分提示，要求计算过程思路清晰。