group theory2

2023-08-06 17:20 作者:wuaudio 0人读过 | 我要投稿

考虑我们熟悉的指数函数： $e%5E%7Bx%2By%7D%3De%5Ex%20e%5Ey$ ，在中学的时候我们就知道加法变乘法，用代数的视角看。仅仅看作是函数的话就是从 $R$ 到 $R%2B$ 的映射，进一步的看作是群 $%EF%BC%88R%2C%2B%EF%BC%89$ 到群

$(R%2B%2C*)$ 的群同态，线性代数中学过的行列式也可以看作是可逆(复)矩阵乘法到非零实(复)数乘法的群同态。指数映射是一一对应的，所以第一种情况叫做同构而且同构映射还是可逆的，行列式映射显然不是同构，因为行列式为 $1$ 的矩阵可不止单位矩阵，所以第二种情况就叫做同态。注意到同态(同构)映射可以复合 $G%5Crightarrow%20G%5E%5Cprime%20%5Crightarrow%20G%5E%7B%5Cprime%20%5Cprime%7D$ ,结果还是一个一个同态(同构)，所以考虑,群到自身的同构映射： $%5Cmathbf%7BAut%7D(G)%3AG%5Crightarrow%20G$ 的全体再考虑到同构映射的可逆性，它也可以构成一个群。