上回我们介绍了拓扑学中的布劳威尔不动点定理，今天我们来聊聊另一个著名的不动点定理——巴拿赫不动点定理。

        巴拿赫(1892-1945)  著名波兰数学家，在泛函分析上有较大贡献。他于1922年证明了此定理。

         在了解定理前，我们要先知道压缩映射的概念：在集合X中有一个X到自身的映射f，使得对任意x,y∈X,都有d(f(x),f(y))<a·d(x,y)其中0＜a＜1，则f被称作压缩映射。(这里的d(x,y)指的是x到y的“距离”它是几何中距离概念的推广)

       (很明显，压缩映射就是使得任意两点的“距离”缩小的映射。例如，将一个平面点集以原点为中心缩小1/2的映射。) 

       在压缩映射中，必且仅有一个不动点，即必存在一点x0使得f(x0)＝x0，且这个点唯一，这就是巴拿赫不动点定理。

        求巴拿赫不动点有一个简易的算法，即将任意一点x在f中不断迭代形成一个序列：x，f(x)，f(f(x)).........则这个序列的极限就是不动点x0。

         这个定理可以从另一角度证明地图定理，但它对地图的限制比布劳威尔定理多，这里说明从略。