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广义线性模型（GLM） 是通过连接函数,把自变量线性组合和因变量的概率分布连起来,该概率分布可以是高斯分布、二项分布、多项式分布、泊松分布、伽马分布、指数分布。连接函数有：

• 平方根连接（用于泊松模型）

考虑一些均值μ和方差σ2的随机变量Y。利用泰勒展开式

假使

，考虑平方根变换g（y）= \ sqrt {y} g（y）= y，则第二个等式变为

因此，通过平方根变换，我们具有方差稳定性，可以将其解释为一定的同调性。

• 伯努利模型的对数函数

假设变量是泊松变量，

先前的模型看起来像是伯努利回归分析，其中H作为链接函数，\ mathbb {P}

因此，现在假设代替观察N，我们观察到Y = 1（N> 0）。在那种情况下，运行带有对数链接函数的伯努利回归，首先与对原始数据运行泊松回归，然后在我们的二进制变量零和非零上使用。让我们先生成一些模拟数据，比较从标准逻辑回归得到的eλx和px

1. 


2. regPois = glm(Y~.,data=base,family=poisson(link="log"))

3. regBinom = glm((Y==0)~.,data=base,family=binomial(link="probit"))

 

 

 

如果px \是从Bernoulli回归中获得的，并且具有连接功能，该怎么办？

1. 


2. plot(prob,1-exp(-lambda),xlim=0:1,ylim=0:1)

3. abline(a=0,b=1,lty=2,col="red")

 

拟合很好，现在，如果我们对婚姻出轨数据集，由雷·费尔，在1978年出版的  期刊政治经济学  （含563个观察，九个变量）进行建模：

1. 


2. prob = predict(regBinom, type="response")

3. plot(prob,exp(-lambda),xlim=0:1,ylim=0:1)

4. abline(a=0,b=1,lty=2,col="red")

 

在这种情况下，这两种模型结果是非常不同的。第二个模型也是

1. 


2. plot(prob,1-exp(-lambda),xlim=0:1,ylim=0:1)

3. abline(a=0,b=1,lty=2,col="red")

 

 

 

我们如何解释呢？是因为泊松模型不好吗？我们在这里运行零膨胀模型进行比较，

1. 


2. summary(regZIP)

3. 


4. Count model coefficients (poisson with log link):

5. Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)

6. (Intercept) -0.002274   0.048413  -0.047    0.963

7. X1           1.019814   0.026186  38.945   <2e-16 ***

8. X2           1.004814   0.024172  41.570   <2e-16 ***

9. Zero-inflation model coefficients (binomial with logit link):

10. Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)

11. (Intercept) -4.90190    2.07846  -2.358   0.0184 *

12. X1          -2.00227    0.86897  -2.304   0.0212 *

13. X2          -0.01545    0.96121  -0.016   0.9872

14. ---

15. Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

由于零的膨胀，我们在这里拒绝了泊松分布的假设，可以使用对数连接来检查泊松分布是否是一个好的模型。

 

 

参考文献

1.用SPSS估计HLM层次线性模型模型

2.R语言线性判别分析（LDA），二次判别分析（QDA）和正则判别分析（RDA）

3.基于R语言的lmer混合线性回归模型

4.R语言Gibbs抽样的贝叶斯简单线性回归仿真分析

5.在r语言中使用GAM（广义相加模型）进行电力负荷时间序列分析

6.使用SAS，Stata，HLM，R，SPSS和Mplus的分层线性模型HLM

7.R语言中的岭回归、套索回归、主成分回归：线性模型选择和正则化

8.R语言用线性回归模型预测空气质量臭氧数据

9.R语言分层线性模型案例