一题小题引发的思考

在做题时，我遇到这样一题：

“已知∠A＝60°，△ABC为锐角三角形，BC＝2√3，用一张圆形纸片盖住△ABC，则圆形纸片半径最小为多少？”

显而易见，圆形纸片半经最小时，其为△ABC的外接圆，易得半径为2。

但是，这里的“显而易见”引发了我的思考，于是出现了下面这题。

“如图所示，△ABC为锐角三角形，平面内有一点P，连接AP、BP、CP，当这三条线段中最长的线段取最小值时，求证：点P为△ABC的外心.”

初看可能没有头绪，但我们可以分情况讨论：

△ABC所有边的中垂线将此平面分为6部分，点P在t1（含边界）内时AP≥CP≥BP，其它区域依此类推，会发现点P在t1内时，AP最长，所以只要找出AP的最小值即可，其它区域也一样，最后会发现，当点P在点D（△ABC的外心）上时，六种情况都取到最小值，从而完成证明。

上题中，△ABC为锐角三角形，那么如果其为钝角三角形时，上面的结论还正确吗？

显而易见，当点P为△ABC的外心时，最长的线段并没有取到最小值，那么点P在哪呢？

我们再次使用上一题的方法，会发现当点P在t4和t5内时，最小值都会取到边BC的一半，P为边BC的中点，其它的取外接圆半径，P在点D上，通过比较发现，BC长的一半小于外接圆半径，因此点P在边BC的中点上，所以可以得出结论：当△ABC为钝角三角形时，点P在其钝角对边的中点上.

那么直角三角形呢？

我们会发现，点P不仅在其斜边中点上，还在其外接圆圆心上（直角三角形的外心是它斜边的中点）.

到这里，我们便将这个问题彻底弄明白了。

那么，这期专栏就到这里，希望能对你有所帮助，我们下期再见。