一个有关分级火箭的问题

这个问题，是来源于高中物理竞赛的一道题目。原题目比较简单，是一个两级火箭问题。在做完原问题后，老师让我们思考一下三级火箭乃至更多级火箭的问题。我对这个问题很感兴趣，便利用课余时间研究了一下，得到了一个比较优美的结果。整个推导过程虽说比较长（我用word文档打了将近三页），但不算特别复杂，所用知识点有高中物理知识、导数、数学归纳法。

一下是全部推导过程：

鉴于在下水平不高，本文可能有错。若有错误，也请各位大佬指正，谢谢！