两个高中物理推论的数学证明

推论一：

对于质地均匀且密度为ρ₀，半径为R的球，其对球外一质点的引力等价于在球心处质量为M(M=4πR³ρ₀/3)的质点对该点的引力

证明：

设该球所占有的空间为：

球外一质点

由对称性知其引力在x,y轴上的分量为0，则有：

对二重积分部分使用极坐标换元，得到：

推论一得证.

推论二：

对于一外半径为R，内半径为r（R≥r），质地均匀的空心球体内一点，该空心球体对该质点的引力为0

证明：

设该物体所占有的空间为：

内部一质点：

同样由对称性可以知道引力在x,y方向上的分量为0，于是有：

其中，

现对后面的三个二重积分化简

当-R≤z≤-r时

当-r≤z≤r时

当r≤z≤R时

代回原积分表达式得：

于是得到：

推论二得证.