由于最近身体不是很好，没精力做视频，所以先把朗道《二卷》中“能动赝张量”这个比较重要的东西说一下。具体内容还是放在引力场分析视频内讲。

一、能动赝张量的由来

1.电磁场系统的能动守恒律

为了说清楚引力场能动赝张量，首先我们要回到电磁场系统的能量-动量-密度张量的守恒上。在《通用电磁场分析》中的《电磁场系统的能动密度张量》这一期中，我们了解到，对于一个系统而言，其能动密度张量的守恒是对于两者而言的，即场的能动密度张量和粒子的能动密度张量之和守恒，具体的数学形式为：，其中下角标p和f分别代表了粒子和场的能动密度张量。具体证明过程请参考视频。

可以看到，守恒律是以和的形式呈现的，系统中单独的能动密度张量其实并不守恒，即不满足守恒方程，而这正是爱因斯坦引力场方程的一个缺陷。

2.引力场方程的一个缺陷

对于引力场方程的推导这里就不再过多的赘述了，其不含宇宙学常数的形式为：

，其中等式左侧称为爱因斯坦张量，代表了引力场的时空曲率特性；等式右侧是物体的能动密度张量，一般采用的是宏观物体的表达式，其中为四维速度。

同时，容易证明，场方程自动满足条件，即等式符合“引力场系统下物质的守恒律”。

但是，结合电磁场系统的结论可知，此处的能动密度张量其实并不满足引力场系统守恒律，因为它只包含了粒子的部分，而引力场自身的部分是缺失的，所以其实场方程并不能表示任何守恒律。所以，为了解决这个问题，我们需要对引力场部分做单独的分析。

二、引力场能动赝张量

引力场的能动赝张量有两种形式，一种是不对称的混和形式，称为爱因斯坦-狄拉克能动赝张量；一种是对称的纯逆变形式，称为朗道-利弗席兹能动赝张量。接下来我们就一一叙述。

1.爱因斯坦-狄拉克能动赝张量

其实，爱因斯坦自己早已发现了这个问题。在1918年，也就是场方程发表的3年后，爱因斯坦就写了一篇《关于广义相对论中的能量守恒定律》，爱因斯坦在里面提出了一个能动赝张量来处理这个问题，随后由保罗-狄拉克证明了其符合系统的守恒律。

为了推导爱因斯坦能动赝张量，首先我们回到能动密度张量的普遍形式。在狭义相对论下，对于闵可夫斯基四维时空，场的作用量为，其中代表了场的拉格朗日量密度。相对应的，对于场的任何一个量，我们能给出对应的能动密度张量为：

，其中对场的个求和。

回到引力场系统，由微分几何可知，引力场的作用量应为，其中代表了引力场的拉格朗日量密度。相对应的，对于引力场而言，其主要的量即为度规张量，则我们能给出对应的能动密度张量为：

，求和对于度规张量的分量而言。同时，对于引力场，其拉格朗日量密度为，为Ricci张量的非线性部分的标量。

全部带入，我们便可以得到爱因斯坦-狄拉克能动赝张量：

容易看到，这个量包含了大量的一阶联络系数，因此是一个赝张量。具体的系统守恒律我会在视频中详细证明，大家也可以自己试一下。

爱因斯坦-狄拉克能动赝张量的推导不需要非常多的思考，只需要从能动张量的普遍形式出发，带换掉拉格朗日量密度即可。但缺点也显而易见：不对称，混合量。鉴于场方程优美的形式，以及所要求的系统角动量守恒，对称的纯逆变量自然是更加好的。

2.朗道-利弗席兹能动赝张量

基于上述原因，朗道和利弗席兹在1947年共同发表了基于场方程的能动赝张量，这是一个对称的，纯逆变形式的赝张量。

值得注意的是，虽然在此之前我们能给出基于度规张量的对称的能动密度张量，但不能把直接带入，因为结果必然等于0。所以，我们需要另外一种方法来计算。

首先，我们考虑一个参考系，在这个参考系内，当然度规张量并不一定能化为闵氏度规的形式。这样，针对场方程的守恒律就化为，它的解通过“能动密度张量的规范不变性”可以直接给出，其中
关于指标是反对称的。

这样的形式很好寻找，从场方程出发，代入，一通计算后便可以得出：
，明显括号内的式子对于指标是反对称的，于是可以引入符号：

，

将因子提出后（由于因此行列式的值与微分无关）便可以得到，是为在时下的守恒律。

对于任意坐标系，此等式不再有效，两者的差一般不为0，此时我们将其记作

 ，于是有。

明显可见，由于 是对称的，因此 也是对称的，同时指标反对称的关系也能直接给出方程，即系统能动密度守恒。

由此，我们便可以给出朗道-利弗席兹能动赝张量：，它满足关系。从而我们修改场方程为：

。

的具体表达式过于复杂，这里就不给出了，以免大家产生心理负担。但可以肯定的是，由于结果中的 是普通偏导数而不是协变导数，因此必然是赝张量。

三、总结

关于引力场自身的能动张量，由于曲率的关系所以不太好求解，但也不能因此而忽视了这个内容。通过 ，我们便可以计算出四维动量和角动量，

这个式子在之后计算旋转引力场的赌度规混合分量时很有帮助。

当然，这个量还能帮助我们了解更多的关于引力场及宇宙的相关信息，在加入宇宙学常数之后还会再改变，但它所蕴含的物理学思想是不变的。