【种花家务·代数】1-4-01因式分解的意义『数理化自学丛书6677版』

【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教中学甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。 

第四章因式分解

§4-1因式分解的意义

【01】在上一章里，我们学习了整式和整式的各种运算。进一步我们将学习分式和分式的运算。但在这之前，我们要先学习多项式的因式分解，这和算术里学习分数以前，先要学习整数的因数分解一样，这一章里我们就来讨论多项式的因式分解。

【02】在算术里我们知道，一个自然数如果除掉 1 和它本身以外，不能被其他自然数整除，那末这个数就叫做质数；如果还能够被其他自然数整除，那末这个数就叫做合数。自然数 1 既不是质数，也不是合数。

【03】对于一个合数，我们总可以把它分解成若干个质因数的连乘积。

【04】例如：35＝7×5，63＝7×9＝7×3×3＝3²×7，等等。

【05】把一个自然数分解成几个因数的连乘积，叫做自然数的因数分解。在进行因数分解的时候，通常总要把它分解到不能分解为止。

例1.把 224 分解成质因数的连乘积。

【解】

∴ 224＝2⁵×7  。

例2.把 4320 分解成质因数的连乘积。

【解】

∴ 4320＝2⁵×3³×5  。

【注】在把一个数分解成质因数的连乘积的时候，我们总把相同的质因数写成幂的形式，如2·2·2·2·2 写成 2⁵，3·3·3 写成 3³ 等。

【06】我们知道，几个整式相乘，每一个整式都叫做它们的积的因式。例如：

        (1) a(b＋c)＝ab＋ac，整式 a 和整式 b＋c 都是它们的积 ab＋ac 的因式。

        (2) (a＋b)(a－b)＝a²－b²，整式 a＋b 和整式 a－b 都是它们的积 a²－b² 的因式。

【07】很明显，我们也可以把上面的(1)写成 ab＋ac＝a(b＋c)  。这个式子把多项式 ab＋ac 写成两个整式 a 和 b＋c 的积的形式。

【08】同样，我们可以把多项式 a²－b² 化成两个整式的积的形式，就是 a²－b²＝(a＋b)(a－b)  。

【09】把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。〖山注||  整式包括单项式和多项式〗

【10】在进行多项式的因式分解时，象算术里分解因数一样，通常也要把这多项式分解到不能再分解为止。

【注】在代数里，一个单项式已经是数字因数和字母因数的乘积的形式了。例如 3a²b³c 就是 3×a×a×b×b×b×c，而 3a²b³c 的写法比 3aabbbc 的写法简便，因此单项式不再需要分解因式了。

【11】下面我们来研究多项式的因式分解的各种方法。