2023数分每日一题学习感悟-Day53（幂级数：求幂函数一）

一、吉林大学

求收敛域以及和函数

思路：1、先求收敛半径，利用比值/根式法，对系数an开n次方根或者看后一项比上前一项极限，这个值的倒数即为收敛半径（比如这个极限是0，那么收敛半径为∞）

2、考虑端点，得到收敛域。

3、下考虑和函数，这里看到x^(n-1),所以必然会想到Σx^n=1/(1-x).于是求一次导出现一个n，但是x^n变成了x^(n-1),所以我们要再凑个x，有了x^n再去求导，凑出题目要求的n^2即可。两次求导，注意不要求错，细心点。

二、西南财经

求和函数。

思路同吉林大学，

1、充分观察，发现题干有(1/2)^n,又有x^n,可以结合到 一块，弄出一个（2x）^n,求收敛半径与收敛域

2、此时看到阶乘与n次方，就会联想到e^x，因为e^x=Σ(x^n)/n!.

3、此时还注意到题干分子还有n^2+1,拆成两项，对于1不用管，就是e^(2x),把2x替换x即可。而n^2就充分利用x^n让他去求两次导，便有n^2出现，过程中记得去配凑x即可。最后x用2x去配就可以了。

三、南京师范大学

求幂级数与和函数

思路：1、先说明|x|<1，幂级数收敛

2、下求和函数，利用题干条件，所以使用比值判别法。

3、由于不知道an表达式，又观察到题干式子的角标（n+1）与对应系数（n+1）一致，不妨让S'（x）中的n与an变为（n+1）与a(n+1).

4、把S'(x)写出来，一项项写出来，利用题干式子换掉a(n+1)

5、最后变量分离，让倒数结合在一块，两边求积分，解一个微分方程，把C求出，S（x）也出来了。

重点补充：

一、熟悉常见幂级数展开式（包括arctanx的展开式）

二、熟悉常见导数公式（尤其是基本求导法则的③，基本初等函数导数公式的③与④）