抛物线的几何性质（四）
定义
定义13.在一条曲线中，一组平行弦的中点轨迹叫做直径(Diameter)
定义14.夹在直径与曲线之间的半弦称为此直径的【纵标线】
有些曲线的直径可能并不是直线，比如圆
命题
命题13.抛物线外一点作关于抛物线的两条切线，从焦点看抛物线外一点和两切点，视角相等，而且有相似三角形
如图，F为抛物线外一点，E为抛物线之焦点，FH、FG是抛物线的两条切线，
就会有∠FEH = ∠FEG
而且△FEH ∽ △GEF
证明：
作抛物线顶点处切线，分别交两条切线于点J、K，然后连结J、E；K、E
由于FH、FG为抛物线之切线，因此有
EJ⊥LG
EK⊥EH （命题10）
所以点F、J、E、K是共圆的
可得
∠KFE = ∠KJE
而且注意到顶点处的切线垂直于轴，而EJ又垂直于LG
因此由射影定理可得
∠KJE = ∠JLE = ∠FGE
整理得 ∠KFE = ∠FGE
同理可得 ∠FHE = ∠GFE
于是可证 △FEH ∽ △GEF
然后就有 ∠FEH = ∠FEG
证毕
命题14.抛物线的直径平行于轴
如图，Q为PO之中点，其运动轨迹为一条直线
证明：
过O、P两点作抛物线之切线
作一平行于PO的抛物线切线，与前两条切线交于交于点R、S，切于点M，过M作平行于轴的直线，与切线RP、SO分别交于点N和点N' (图中未标出)，与弦PO交于Q
接着连结点M、P
然后过R作轴的平行线交MP于点T
先讨论切线NP：
由于NQ是平行于抛物线的轴的，所以Q为弦PO的中点(命题12)
同理，点T是弦MP的中点
那么，RT为△NPM的中位线，R是线段NP的中点
已知 MR∥ PO，而且R是NP的中点
所以 NM = MQ
类似地，讨论切线N'O时(点N'在图中未标出)，也能得出 N'M = MQ
所以点N 点N' 是重合的
直线NM是确定的，我们已经知道，点Q是弦PO的中点
所以，所有平行于弦PO的弦的中点，都在一条平行于轴的直线上
证毕
命题15.如图，CD为直径FD的纵标线，CD延长交抛物线与点B，则有 EF = FD
证明：
过点F作抛物线之切线与点C处切线交于G，连结C、F
过G作关于轴的平行线交CF于H
具体证明跟命题14证法一样，这里不多赘述
证毕
本文完
往期文章
明天又要返校，下次更新可能是3-5天后了，会抽出时间继续更下去的！
我在写这篇文章的时候就在想命题15和命题14是不是该调换下顺序，，，这样更好看懂一些
这篇似乎比往期文章的文字量都要大，手机端阅读可能会有点疲劳，希望有个不错的观看数吧……
