大学物理（电磁学）知识梳理与例题选讲：§06 电磁感应（2）
感生电动势
# 电动势：其中K为非静电力
# 感生电动势：面积S不变，磁感应强度B改变
注意：上图中的式子 $\vec{E}_{k}$ 不是动能，其为矢量，$\vec{E}_{k}$ 表示感生电场或涡旋电场
## 与静电场的区别：静电场为保守场
## 总电场 $\vec{E}$：静电场 $\vec{E}_{0}$ + 涡旋电场 $\vec{E}_{k}
- 旋度与散度
# 例题：感生电动势
## 例1：感生电场的分布
圆形磁场区域半径为R，已知 $\frac{\partial B}{\partial t}$，求感生电场的分布
- 定性分析：
- 分布特点：由磁感应强度B（关于圆心）对称性可知，感生电场分布亦为关于圆心对称
- 方向：由磁场的高斯定理（闭合曲面的磁通量为0），可知涡旋电场 $\vec{E}_{k}$沿切线方向
- 分析求解：由感生电动势与涡旋电场关系的表达式，可得
## 例2：圆形磁场中的直导线
在圆心磁场中，已知ab为过圆心的导线，cd为导线在圆的弦上，磁通量随时间的变化率也是已知的。求ab、cd的电势
- 原感生电动势表达式可变为线积分，由积分上下限可知，电势应为大于0的
** ab电势
** cd电势
## 例3：无限长条形磁场
两条形间距为d，求感生电动势
- 定性分析
** 位置分析：由旋度表达式（叉乘）可知涡旋电场与磁感应强度的变化量垂直，即涡旋电场在纸面平面内
** 方向：由无穷对称性（x轴的平行线），所以涡旋电场垂直于x轴
注意：涡旋电场不是一个朝下（单方向的）。由对称性（关于x轴对称）可知其分布不符合；或者使用环积分（环量）将为0，不符合
综合可知，涡旋电场为左右相反方向的分布形式
- 分析求解
** 环路矩形在条形区域内（x < d/2）
** 环路矩形在条形区域外（x > d/2）
# 例题：变化磁场的电路分析
思路：磁场电路转化为等效电路分析
## 例1：圆形磁场
矩形铁线OABC在圆形磁场内，求AC的电势差
- 求出感生电动势
** 由上面`例1：感生电场的分布`可知涡旋电场与OA、OB垂直，则感生电动势（点乘）为0；由对称性（AB、CB关于OB对称）可知AB与BC电动势相同
- 等效电路
** 判断电流方向：由楞次定律可知电流为逆时针方向
** 绘出电路图
** 求解AC电势（I * 2R）
结果为
电感
# 自感：在闭合回路中，当电流发生改变时，自身产生电动势抵抗电流变化的性质
## 自感系数 (=> new 电势表达式)
注意：分子所指的是磁匝链数ψ（\Psi）
## 例题：自感系数L
### 例1：螺线管
在第5章：磁场分布的求解的例题中已经求出——磁感应他强度B=μnI，求自感系数L
- 求出磁通匝链数ψ与电感L
注意：虽然螺线管为有限长，但仍然认为其为均匀磁场分布便于计算
### 例2：螺线环
已知内半径a，外半径b，匝数N，可认为横截面积为矩形，厚度h，求自感系数L
思路：(第5章)磁感应强度B -> （第5章）磁通量Φ -> 自感系数L
- 磁感应强度B
** 定性判断：当电流 I 为螺旋向外时，磁感应强度方向为逆时针方向
** 分析计算：由安培环路定理，可得（此时需将电流堪称分立的电流 I 分析，以得到总穿过电流 $I_{all}$ ）
- 磁通量Φ
** 微元分析
积分计算
- 自感系数L
### 拓展
当螺线管较小时，自感系数L
此时自感系数L，可得
可认为，螺线管内部为均匀磁场，磁感应强度B为
### 例3：同轴电缆
已知条件如下图标注所示，求自感系数L
思路：(第5章)磁感应强度B -> （第5章）磁通量Φ -> 自感系数L
- 磁感应强度B
由安培环路定理，得
（补充：易知当环路半径r < 内径R1 或者 环路半径r > 外径R2时，其磁感应强度B均为0）
- 磁通量Φ（取过圆心截面的一半）
- 自感系数L
注意：同轴电缆的匝数N为1
# 互感M
在闭合回路中，当电流发生改变时，因感应作用而引起另一闭合回路产生电动势抵抗电流变化的性质
- 传递链
## 互感系数M
- 互感系数相等：（up主略过证明：提示为使用轮换对称性）
- 互感系数可正可负（电流行进方向：同向为正，异向为负）
- 耦合系数：描述互感线圈的位置关系
## 例题：互感系数M
### 例1：互感线圈
求线圈1对线圈2的磁通匝链数ψ与互感系数M
### 例2：电路中的互感
已知两线圈的电感分别为L1、L2，当两电感通入同向电流且恰好为正向耦合的互感系数为M。求当两电感接入到同一电路时，两线圈的总自感系数L
- 串联时
** 顺串联，即线圈电流同向行进
线圈1对自身的自感电动势 $E_{11}$、线圈1受到线圈2的互感电动势 $E_{12}$，线圈2同理，则可得
得出总电动势，进而得出总电感L
** 逆串联，即线圈电流异向行进
相比于顺串联，互感变为相反，即M = -M，则易得总电感L
- 并联时
** 顺并联
注意：总电动势E表达式的电流亦为总电流I
由并联特性可知，支路的感应电动势相等，可得
可计算出：两电流变化率比值
结合总电流表达式： I = I₁+I₂，进而可求出两电流变化率与总电流变化率的关系
最终可表示总电动势，从而得出电感L
** 逆并联
此时互感系数M = -M，结合串并联求出总电势表达式E(dI/dt)，可得总电感系数L
L = (L₁L₂ - M²) / (L₁+L₂+2M)
# 电感在电路中的行为
## 回顾电容在电路中的行为
- 电容器的串并联性质
- 电路定理：电荷守恒（针对电路节点的电荷总量为0）；回路定理（在回路内的电势总和为0）
- 复杂电容器的分解 => 串并联电容电路
# 例题
## 电感在电路中的符号判断
说明：顺着电流方向电势降低，即为带负号-的表达式
## 例1：RL电路（电阻-电感电路）
求电流 I 随时间 t 的表达式
### 充电电路
由回路定理（在回路内的电势总和为0），可得
进而可得
### 电感放电电路
由回路定理（在回路内的电势总和为0），可得图所示微分方程
求解电流 I ,可得
### 深化题：探讨电路中灯泡的亮暗状况
- 当开关闭合
** 干路灯泡
- 闭合时刻，在干路的灯泡稍暗，因电感在开关闭合时刻，可认为其处于断路。
- 随着电感的稳定（相当于一个逐渐变小为R的电阻），干路灯泡逐渐变亮至最亮
** 支路灯泡
刚开始达到最亮，随着电感的稳定（相当于一个逐渐变小为R的电阻），因此并联电路中的总电阻逐渐变小，分压变小也逐渐暗淡至电感稳定，并维持较亮的亮度
- 开关断开
** 干路灯泡
亮度将直接暗淡下去
** 支路灯泡
电感开始时刻将维持原有大小的电流流经支路，维持支路灯泡的较亮的亮度；随着电感电能逐渐释放，支路灯泡将逐渐暗淡直至完全不亮
- 电流函数图像
a. 支路的 I-t 图像(图像错误)
b. 干路的 I-t 图像
- 电感的能量
计算的结果
- 能量密度（up主并没有将关于电感的）
回顾电容器的能量密度：1/2 * ε₀ E²
** 验证电感能量表达式
磁场总量能
在环形螺线管中的磁场能为
在串联电感中
推导过程
位移电流
若将涡旋电场（有旋）与静电场（无旋）计入电场范畴，则电场将不是一个无旋场
# 位移电流概念
- 前情提要
由安培环路定理，可得
- 问题的引出
原定义的安培环路定理不适用：边界处于在电流中断处（边界位于电容内部），其区域内电流ΣI = 0；而在电路连续处且有值。
- 修正安培环路定理
思路：1. 扩充电流定义；2. 扩充磁场环量的范围。考虑扩充磁场环量的范围时，即考虑变化的电场的通量亦为环量的一部分，换言之变化的电场亦为一种磁场或者产生磁场[笔者个人的延伸补充]
由电流连续性方程与高斯定理，可得 => 衍生出 `位移电流密度`的概念
使用衍生式与衍生概念重新定义`安培环路定理`
进而可得边界处于在电流中断处（边界位于电容内部）的安培环路定理应为
- 完善后的安培环路定理
- 重新完善磁场的性质
** 磁场旋度
# 例题：位移电流与安培环路定理
## 例1：圆形平行板
求磁场分布，即求磁感应强度B
由安培环路定理可知，求解需要求出电流和场强的变化率
- 电流 I
注意：电流与电荷变化率的符号（为负号）：考虑物理意义可知电容 C 的电荷 q 在流失，因而取负号。
- 场强变化率
注意：此处场强变化率结果的负号（为负号）时由物理意义的，其为表示与电流 I 反向
- 磁感应强度B
最终结果为
中档题赏析
# 例题：中档题
## 例1：S型环绕而成的三个线圈
在均匀磁场B下，有个S型环绕而成的三线圈。其起点为M，在大线圈范围内逆时针方向为起始方向，终点为N，其半径分别为3R、2R、R，电阻率为ρ 在以匀角速度ω绕中轴线运动，求MN电势差 u 随时间的关系
注意：三个线圈连接并不是都为连贯，其中3R线圈、R线圈为连贯的圆，而2R线圈由上下两半组成，因而分析时需分开计算后求解
- 通过线圈的磁通量变小时，线圈电流方向
** 电动势计算：（使用公式：E = BS sin ωt）
沿着S形环绕轨迹计算电动势E
** 求解总电阻 $R_{a}$ 和电流 I
** 求解电势差 $u_{MN}$
思路：起点M、R3、$u_{MN}$、终点N构成回路，使用回路定理即可求出 $u_{MN}$
注意符号原则：电势降低为-，电势抬升为+
## 例2：在导轨上的两可活动导线
求解问题
- 右边导线的速度 v(t)
- 通过的电量q
- 两活动导线的Δx
### 求解v(t)
分析受力并结合质心运动定理
由质心运动定理，得
力学微分方程的分析
力学微分方程
方程联立，求解
### 通过的电量q
### 两活动导线的Δx
## 例3：螺线环问题
已知平均周长l，匝数分别为N1、N2，横截面积S
求解
- N1的自感系数L1
- 求互感系数M
- 当N1的电流 I₀ -> -I₀时，电流表的示数
1.求解：N1的自感系数L1、求互感系数M
2.当N1的电流 I₀ -> -I₀时，电流表的示数
使用互感的方法求
## 例4：电磁感应加速器
使用涡旋电场作为加速粒子
证明：粒子稳定做圆周运动所需要满足条件
证明
简化可得
