幅角原理推论:weierstrass preparation theory的一块

2023-07-17 17:59 作者:河中石鱼 0人读过 | 我要投稿

多元复函数化为一元复函数: $f%5Cleft(z%2Cw_%7B1%7D%2Cw_%7B2%7D%2C...%5Cright)%3Df%5Cleft(z%2Cw%5Cright)%3Df_%7Bw%7D%5Cleft(z%5Cright)$ ，而函数在 $%5Cleft%7Cz%5Cright%7C%3Cr$ 上有零元 $b_%7B1%7D%2C...%2Cb_%7Bd%7D$ ，则 $%5Csum%7Bb%5E%7Bq%7D%7D%3D%5Cint_%7B%5Cleft%7Cz%5Cright%7C%3Dr%7Dz%5E%7Bq%7D%5Cfrac%7Bf_%7Bw%7D%5E%7B'%7D%5Cleft(z%5Cright)%7D%7Bf_%7Bw%7D%5Cleft(z%5Cright)%7Ddz.$

将零元转化为单极点，了解过幅角原理可以理解这一点，因为 $%5Cfrac%7B1%7D%7Bz-b%7D$ 的系数为要积分的函数在单极点b的留数.回顾复分析内容，零元b的重数按一个一个零元算， $f_%7Bw%7D%5Cleft(z%5Cright)%3D%5Cleft(z-b%5Cright)g_%7Bw%7D%5Cleft(z%5Cright)%5CRightarrow%5Cfrac%7Bf_%7Bw%7D%5E%7B'%7D%5Cleft(z%5Cright)%7D%7Bf_%7Bw%7D%5Cleft(z%5Cright)%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bz-b%7D%2B%5Cfrac%7Bg_%7Bw%7D%5E%7B'%7D%5Cleft(z%5Cright)%7D%7Bg_%7Bw%7D%5Cleft(z%5Cright)%7D.$ 注意 $z%5E%7Bq%7D%3Db%5E%7Bq%7D%2Bqb%5E%7Bq-1%7D%5Cleft(z-b%5Cright)%2B%E2%80%A6$ ，所以 $z%5E%7Bq%7D%5Cfrac%7Bf_%7Bw%7D%5E%7B'%7D%5Cleft(z%5Cright)%7D%7Bf_%7Bw%7D%5Cleft(z%5Cright)%7D$ 在单极点 $b$ 的留数为 $b%5E%7Bq%7D$ ，依据留数定理得到 $%5Csum%7Bb%5E%7Bq%7D%7D%3D%5Cint_%7B%5Cleft%7Cz%5Cright%7C%3Dr%7Dz%5E%7Bq%7D%5Cfrac%7Bf_%7Bw%7D%5E%7B'%7D%5Cleft(z%5Cright)%7D%7Bf_%7Bw%7D%5Cleft(z%5Cright)%7Ddz.$

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