2023数分Day71（多元函数微分学与隐函数定理9：拉格朗日乘数法）

一、整体感受

不难，但对求导、分类讨论、极值判断等概念考察有一定要求，多练、多理解；

同时，对于拉格朗日函数是什么，要根据题意来写，特别是题4要求最大方向导数，此时设拉格朗日函数就得看清楚。

二、需要复习

1、分类讨论思想

2、梯度及其模长【何时有最大方向导数与最小方向导数】

三、具体题目

1【吉林大学】

先写出拉格朗日函数，然后对各变量求导；

用Lx-Ly,Lx-Lz；（这一步是关键）

接着分两类情况讨论；

对求出的6组解，利用函数在有界闭集上连续，必有max与min,代入，看函数值哪个最大，哪个最小

2【新疆大学】

先写出拉格朗日函数，然后对各变量求导；

通过观察，Lx与Lz似乎有关联，让Lx✖3-Lz，再利用Lx这个式子，可知λ≠0，所以必然得到z=3x；

再对Ly分类讨论；

对求出的4组解，利用函数在有界闭集上连续，必有max与min,代入，看函数值哪个最大，哪个最小

3【东北大学】

这题特别点第一步在如何合适地设出拉格朗日函数，观察要求的不等式，所以令x+y+z=5t（t>0），然后构造拉格朗日函数，并对各变量求导；

观察，用Ly-Lx,Lz-Lx;（这一步是关键，会利用到正数的性质），将算出来结果代入到Lλ【注：此时如果用Lz-Lx,Lz-Ly做不出，代入Lλ求不出具体的x,y,z】；

利用函数在有界闭集上连续，必有max与min,代入，看函数值哪个最大，哪个最小；发现最小值在边界取得；最大值一定在D内点取得；

然后任取a,b,c，得出恒等的不等式！

4【南京师范大学】

这题关键在先把拉格朗日函数看清在写，先去分析最大方向导数，再来写拉格朗日函数g，对各变量求导；

Lx-Ly;

根据上述结果分类讨论；

对求出的4组解，利用函数在有界闭集上连续，必有max与min,代入，看函数值哪个最大，哪个最小；

因此得到的最大方向导数，就是根号g