数学是一门具有魔力的学科，无论你是否擅长，在门外人的眼中数学就像是变魔术一样具有神奇和不可思议的特性，而在专业领域人士面前数学是一幅精美的艺术品，那种美丽让人陶醉……今天，我们将探讨一种数学的常用证明方法——数学归纳法，他的神奇与美妙之处就在于他像多米诺骨牌一样，一个接着一个，我们不知道到底有多少个骨牌，但是看着一个个骨牌的倒下，我们知道，迟早有一天，那个屹立在最后的骨牌也将会重复前面骨牌的命运而倒下；同样，当我们看到了第一个以及每个骨牌前必有倒下的骨牌时，我们也就知晓了该骨牌也难免于倒下。

  首先要说明的是：1.在本质上，第一与第二数学归纳法是一样的，两者可以互相证明。2.通常，我们使用第一数学归纳法较多一些，另外我们称第二数学归纳法为强归纳法，因为其解决问题范围更大。

第一数学归纳法

  想象一下，你的面前是无穷无尽的多米诺骨牌，当你摁倒第一个骨牌，我们也知道骨牌之间很小的间距导致了若这个骨牌倒下后，后面的那一个骨牌必倒，那我们就可以想象到，这些骨牌迟早有一天都会倒下。

1.使用形式：

①n＝1时，成立（ps：开头不一定是1）

//第一个骨牌会倒下

②假设n＝k时成立，得到k的关系式

//如果第k的骨牌倒下

③n＝k+1时，利用上面k的关系式证明出此时依旧成立

//第k个骨牌后面的那一个骨牌也会倒下

证毕。

//所有骨牌都倒下

2.[反证法]利用最小数原理进行证明其合理性：

①②③⇨？对于所有自然数n成立

假设并非所以的自然数n都成立，记所有不成立的n（所有不会倒的骨牌）构成的集合为S。

由最小数原理，存在一个s0∈S，使得对任意的s∈S，都有s0≤s（存在一个最前面的不会倒的骨牌）。

由于n＝1成立，则s0≥2

因为s0－1∉S，则s0－1成立（最前面的不倒骨牌前一个一定是倒下的骨牌）

令k＝s0－1命题成立，k+1＝s0命题不成立，这与③矛盾，假设不成立（倒下的骨牌后面是不倒的骨牌，这与②③中说的倒下的骨牌后一定也是倒下的骨牌矛盾！）

所以①②③可以推出所有自然数n成立

第二数学归纳法

  再次来到多米诺骨牌，我们知道了第一块会倒下，每一块的前一块也会倒下，那么所有的骨牌都会倒下吗？“最后一块”真的会倒下吗？首先，我们先说明为何“最后一块”会倒下。在数学归纳世界里，多米诺骨牌的数量是无穷的，即任意选择一块骨牌，总有骨牌在这个骨牌的后方，所以不存在“最后的骨牌”这一说。

1.使用形式：

①n＝0时，成立

//开头的骨牌会倒下

②假设n＜k时成立

//如果k以及前面的骨牌倒下

③n＝k时成立

//那么k后面的一个骨牌也会倒下

证毕

//所有骨牌会倒下

2.[反证法]证明：①②③⇨对于所有自然数n成立

假设并非所有n都成立，记所以不成立的n构成集合S。

由最小数原理，存在一个s0∈S，使得对任意的s∈S，都有s0≤s

设s'＜s0，所以s'∉S（最前面的不倒骨牌前的所有骨牌一定是倒下的骨牌），即n＜s0＝k都成立，n＝s0＝k不成立，与②③矛盾，假设不成立。

所以①②③可以推出所有自然数n成立

peano公理

内容：

1.0是自然数

2.每一个确定的数 a 都具有确定的后继数 a'， a'也是自然数。（a'＝a+1）

3.0不是任何自然数的后继数。

4.不同的自然数有不同的后继数，如果自然数 b , c 的后继数都是自然数 a ，那么 b=c 。

5.假设自然数 n 的命题 P(n) 而言，下面的(1)和(2)都成立:(1). P(0) 。(2).对于任意自然数 k ， P(k) 成立，则 P(k′) 成立。

数学归纳法是立足于peano公理的归纳公理，正是有了皮亚诺才有了数学界的多米诺骨牌

如果说第一数学归纳法是上楼，由n1→n2→……，那么第二数学归纳法就像是下楼，先给定一个顶楼k+1，由nk+1→nk→……n1一层层下去。而这些所有的基础就是peano公理。

ps：公理是公认的，不存在证明