【电路原理】分析换路后电抗元件的电压电流变化
在《电路原理》中涉及对动态电路的分析，其中就包含对电抗元件（电容、电感）的分析。本文在此分析8种不同的电路，借此以熟悉电抗元件之间的特性，8种不同电路的换路规律，以及对电路分析的方法及技巧。
以下为待分析的8种电路。
说明：
1、分析电压和电流时均采用关联参考方向，电抗上的参考方向已标出。
2、元件均为理想元件。
3、分析时单位采用国际SI单位制：电压（V、伏特）、电流（A、安培）、电阻（Ω、欧姆）、电容（F、法拉）、电感（H、亨利）。
4、开关S1、S2、S5、S6初始状态为开路，S3、S4、S7、S8初始状态为闭合。
5、本次分析，激励源均为直流。（其它激励波形也可仿照本文分析，但复杂很多。）
分析前所需了解并掌握的：
1.0、电容两端电压不能突变（具有阻碍电压突变性质），而电流可以。
1.1、通过电容的电流为i=C*du/dt，u为电容两端电压、C为电容容量。
2.0、通过电感电流不能突变（具有阻碍电流突变性质），而电压可以。
2.1、电感两端的电压为u=L*di/dt，i为通过电感的电流，L为电感自感系数。
3.0、电阻两端电压和通过电流关系为u=i*R，R为电阻阻值。（欧姆定律）
4.0、开关开路（断路）→强制电流为0，两端电压可为任意值。（R=∞，G=0）
5.0、开关闭合（短路）→强制电压为0，通过的电流为任意值。（R=0，G=∞）
6.0、理想电压源，强制两端电压为us。
6.1、理想电压源通过的电流为任意值，由外电路决定。
6.2、理想电压源内阻R=0。
6.3、理想电压源不可短路。
7.0、理想电流源，强制通过电流为is。
7.1、理想电流源两端的电压为任意值，由外电路决定。
7.2、理想电流源内阻R=∞。
7.3、理想电流源不可开路。
8.0、基本的电路分析知识。
9.0、微积分基础知识。
10.0、对于以下一阶线性非齐次微分方程，其通解为：[1]
电路分析：
求开关 开/闭 后，电抗元件两端电压和电流的变化（关于时间t的函数表达式）。
【I】——电压源，电容电阻，串联。
开关闭合前：
uc=U0；（U0为电容初始电压）
ic=0；
开关闭合后：
由KVL得：uR+uc-Us=0；（Us为电压源电压）
→R*i+uc=Us；
→R*C*duc/dt+uc=Us；
函数图像：
通过函数图像可以看出以下规律：
1.0、电容电压以负指数速度趋向Us。
1.1、电容电压是连续的。
1.2、经过3*RC时间，电压过渡95%；经过5*RC时间，电压过渡99%；经过7*RC时间，电压过渡99.9%。（函数图中RC=2）
1.3、经过5*RC后基本可认为电路完成过渡过程。
2.0、电容电流以负指数速度衰减至0。
2.1、在换路瞬间，电流跳变至最大值，电容可近似看做短路。
公式中各个参数对函数的影响：
1.0、U0决定电压曲线的起始位置。
1.1、U0影响电流曲线的起始位置（电流峰值）。（ic|t=0与Us差值呈正比）
2.0、Us决定电压曲线趋向位置。
2.1、Us影响电流曲线的起始位置（电流峰值）。（ic|t=0与U0差值呈正比）
3.0、R影响电压曲线趋向Us的速度（影响时间常数）。R越大，uc趋向Us越慢。
3.1、R影响电流曲线趋向0的速度（影响时间常数）。R越大，ic趋向0越慢。
3.2、R影响电流曲线初始位置（电流峰值）。（ic|t=0与1/R呈正比，R越大ic|t=0越小）
4.0、C影响电压曲线趋向Us的速度（影响时间常数）。C越大，uc趋向Us越慢。
4.1、C影响电流曲线趋向0的速度（影响时间常数）。C越大，ic趋向0越慢。
达到稳态：
uc=Us；
ic=0；
开关断开：
uc=Us；
ic=0；
【II】——电压源，电容电阻，并联。
开关闭合前：
uc=U0=0；
ic=0；
开关闭合后：
由于电阻R2和电压源并联，所以R2无法改变电压源的电压→不会影响电压源对电容的作用，可以忽略。因为电压源强制两端电压为Us，电容具有阻碍电压突变性质，即电压为U0，若Us≠U0，则电路无法分析。
若要使分析继续，必须在电容C2上串联一个电阻Rc（相当于电容内阻，图未画出），并令Rc→0。模型即转化为【I】型。利用【I】推出的公式，代入计算得：
当t=0（合上瞬间）
uc=U0=0，ic=∞；
经过极短的过渡时间后（<7*Rc*C，因为Rc→0，可认为过渡时间→0）：
uc=Us，ic=0；
函数图像：
现实中的电路：
因为现实元件不是理想元件，会有各种寄生参数。在开关闭合时，导线电阻等会限制电流峰值，寄生电感也会在一定程度限制电流增速，所以ic并不会到∞A。对于低压小电容情况，电流还未升到很高时就已经完成过渡过程。对于高压大电容情况，电路中会瞬间通过非常大的冲击电流，有可能损坏器件。在电路设计中，这种情况是要避免的。
达到稳态：
uc=Us；
ic=0；
开关断开：
此时【II】模型可以近似为【I】型，电容初始电压U0=Us，向电压为0的电压源供电，R为R2。
函数图像：
【III】——电流源，电容电阻，串联
开关断开前：
uc=U0=0；
ic=0；
开关断开后：
由于电阻R3和电流源和电容串联，所以R3无法改变通过电容的电流，可以忽略。可知ic被电流源强制为Is。易知电容电压
函数图像：
通过函数图像可看出以下规律：
1.0、电容电压是线性变化的。
1.1、电容电压没有上限，会一直增加。
2.0、通过电容的电流一直是恒定值。
公式中各个参数对函数的影响：
1.0、Is决定电流曲线的值。
1.1、Is影响电压曲线的斜率（上升速率）。（斜率与Is成正比，Is越大斜率越大）
2.0、C影响电压曲线的斜率（上升速率）。（斜率与1/C成正比，C越大斜率越小）
在电路设计中，可以利用电流源给电容充电来获得线性变化的电压。如果电路没有改变，理论上电压会一直上升到∞，但现实往往有很多因素限制电压，比如电流源最大输出电压（非理想电流源）、电容耐压、空气（击穿）、开关、电路换路等。
达到稳态：
！没有稳态！
开关闭合：
闭合后电路与【II】模型开关断开后相同，可直接利用之前推出的公式。电容初始电压为U0（具体数值取决之前充的多少），Us=0。
函数图像：
注：在t=0时换路。
【IV】——电流源，电容电阻，并联
开关断路前：
uc=U0=0；
ic=0；
开关断路后：
由KCL得：ic+iR-Is=0；
→C*duc/dt+uc/R=Is；
函数图像：
通过函数图像可看出：
图像特性和【I】型几乎完全相同，具体可参考【I】型。
达到稳态：
uc=Is*R；
ic=0；
开关闭合：
因为电容有阻碍两端电压突变特性，而开关闭合短路了电容，即开关强制电容两端电压为0。此时情况参考【II】型、开关闭合。此时将会有极大的冲击电流通过开关。
当t=0时
uc=U0=Is*R，ic=∞；
经过极短的过渡时间后：
uc=Us，ic=0；
函数图像：
现实中的电路：
和之前一样解释，会有很多因素限制电流不会到∞A。然而巨大的冲击电流对电路是不利的，尽量需要避免。一般情况下，开关会承受大部分的，由电容释放出来的功率。因为现实开关不是理想开关，换路过程需要时间，此时电阻最大就在开关，会导致开关触点烧蚀等等。
【V】——电压源，电感电阻，串联
开关闭合前：
uL=0；
iL=I0=0；
开关闭合后：
由KVL得：uL+uR-Us=0；
→L*diL/dt+R*iL=Us；
→diL/dt+R/L*iL=Us/L；
函数图像：
通过函数图像可看出：
1.0、电感电压呈现负指数速度衰减到0。
1.1、换路瞬间，电感电压发生跳变为最大值。
2.0、电感电流呈现负指数速度趋向于Us/R。
2.1、电感电流连续。
2.2、经过3*L/R时间，电流过渡95%；经过5*L/R时间，电流过渡99%；经过7*L/R时间，电流过渡99.9%。（函数图中L/R=1）
2.3、经过5*L/R后基本可认为电路完成过渡过程。
达到稳态：
uL=0；
iL=Us/R；
开关断开：
因为电感具有阻碍电流突变的特性（维持电流=i0=Us/R），而开关断开即强制电流为0。两者相矛盾，无法分析。
若要分析继续，可以把开关想象成一个电阻，其阻值Rsw→∞Ω（符合断路性质）。列写KVL，得出式子，并令Rsw→∞，即得
当t=0时（开关断开瞬间）
uL=∞；
iL=Us/R；
经过极短的过渡时间后
uL=0；
iL=0；
函数图像：
现实中的电路：
因为现实中每个元件/物体/环境只有一定的耐压，过高的电压即刻可以击穿元件/物体/环境。比如空气：大约10kV高压能击穿1cm空气。所以电压并不会达到∞V。一般情况下这种击穿会发生在开关上。机械开关即击穿空气，半导体开关即击穿半导体导致开关报废。
这种电路在现实很常见。为了避免高压带来的危害，往往有很多的辅助电路去吸收高压。也有利用这种高压的，比如boost升压器，或者一个简易的电人装置hhhhhh。
【VI】——电压源，电感电阻，并联
开关闭合前：
uL=0；
iL=I0=0；
开关闭合后：
由于R6与电压源并联，所以R6无法影响电感L两端的电压，分析时可忽略。
可知uL被电压源强制为Us。可得电感电流
函数图像：
通过函数图像可看出以下规律：
1.0、电感电压一直是恒定值。
2.0、电感电流是线性变化的。
2.1、电感电流没有上限，会一直增加。
公式中各个参数对函数的影响：
1.0、Us决定电压曲线的值。
1.1、Us影响电流曲线的斜率（上升速率）。（斜率与Us成正比，Us越大斜率越大）
2.0、L影响电流曲线的斜率（上升速率）。（斜率与1/L成正比，L越大斜率越小）
在现实电路中，因为电感自身存在电阻，会限制其最大电流（与【V】型等同），电流并不会升到∞。还有一种情况是在达到最大电流前发生磁通饱和，此时电感将开始丧失电感特性，电流将不会再线性上升，而是突然爆升，最终受到电阻限制。一般会烧毁一些东西。
达到稳态：
！没有稳态！
开关断开：
此时I0为断开前的电流大小，Us为0。借助推导出的式子（见【VIII】型）得
函数图像：
注：在t=0时换路
【VII】——电流源，电感电阻，串联
开关断开前：
uL=0；
iL=I0=0；
开关断开后：
由于电阻R7与电流源串联，电阻R7无法改变通过电感的电流，分析时可以忽略。因为电流源强制流过的电流为Is，而电感有阻碍电流突变的特性（维持电流为I0）。若Is≠I0，电路无法分析。
若要使分析继续，需要假设开关S7为一个电阻，其阻值Rsw→∞Ω（符合开关断开性质）。电路可等效为【VIII】型（下文），代入其公式，可得。
当t=0（合上瞬间）
uL=∞，iL=I0=0；
经过极短的过渡时间后：
uL=0，iL=Is；
函数图像：
现实中电路：目前我还没有了解到这种设计，或者我孤陋寡闻了？
达到稳态：
uL=0；
iL=Is；
开关闭合：
闭合后电路可与【VI】开关断开时相似，I0=Is，Is=0，得
函数图像：
【VIII】——电流源，电感电阻，并联
开关断开前：
uL=0；
iL=I0；
开关断开后：
由KCL得：iR+iL-Is=0；
→uL/R+iL=Is；
→L/R*diL/dt+iL=Is
函数曲线：
通过函数图像可看出以下规律：
1.0、电感电流以负指数速度趋向Is。
1.1、电感电流是连续的。
1.2、经过3*L/R时间，电流过渡95%；经过5*L/R时间，电流过渡99%；经过7*L/R时间，电流过渡99.9%。（函数图中L/R=2）
1.3、经过5*L/R后基本可认为电路完成过渡过程。
2.0、电感电压以负指数速度衰减至0。
2.1、在换路瞬间，电感电压跳变至最大值，电感可近似看做断路。
公式中各个参数对函数的影响：
1.0、I0影响电压曲线的起始位置（电压峰值）。（uL|t=0与Is差值呈正比）
1.1、I0决定电流曲线的起始位置。
2.0、Is影响电压曲线的起始位置（电压峰值）。（uL|t=0与I0差值呈正比）
2.1、Is决定电流曲线趋向位置。
3.0、R影响电压曲线趋向0的速度（影响时间常数）。R越大，uL趋向0越快。
3.1、R影响电压曲线初始位置（电压峰值）。（uL|t=0与R呈正比，R越大uL|t=0越大）
3.2、R影响电流曲线趋向Is的速度（影响时间常数）。R越大，iL趋向Is越快。
4.0、L影响电压曲线趋向0的速度（影响时间常数）。L越大，uL趋向0越慢。
4.1、L影响电流曲线趋向Is的速度（影响时间常数）。L越大，iL趋向Is越慢。
达到稳态：
uL=0；
iL=Is；
开关闭合：
uL=0；
iL=Is；
总结：
至此8个电路分析完成，此处简要总结8个电路在开关换路前后，电抗元件的电压电流变化：
【I】
闭合：uc从U0负指数趋向Us；
ic从峰值负指数趋向0；
断开：uc不变；
ic=0；
【II】
闭合：uc从0骤升到Us；
ic瞬时冲击电流；
断开：uc从Us负指数趋向0；
ic从峰值负指数趋向0；
【III】
断开：uc从0线性增加；
ic=Is；
闭合：uc从峰值负指数趋向0；
ic从峰值负指数趋向0；
【IV】
断开：uc从0负指数趋向Is*R；
ic从Is负指数趋向0；
闭合：uc从IsR骤降到0；
ic瞬时冲击电流；
【V】
闭合：uL从Us负指数趋向0；
iL从0负指数趋向Us/R；
断开：uL瞬时高压尖峰；
iL从Us/R骤降到0；
【VI】
闭合：uL=Us；
iL=从0线性增加；
断开：uL从峰值负指数趋向0；
iL从峰值负指数趋向0；
【VII】
断开：uL瞬时高压尖峰；
iL从0骤升到Is；
闭合：uL从峰值负指数趋向0；
iL从Is负指数趋向0；
【VIII】
断开：uL从峰值负指数趋向0；
iL从I0负指数趋向Is；
闭合：uL=0；
iL不变；
经过比较之后也可以发现：
【I】和【VIII】对偶，【II】和【VII】对偶，【III】和【VI】对偶，【IV】和【V】对偶。相互对偶的电路具有相似的响应和相似的方程表达式。
本文到此完成对8个电路的分析，感谢能阅读完全文的观众，若本文有误之处，欢迎指正。
——by HD-nuke8800
附录：
[1]：摘自 同济版《高等数学》第七版 上册，第七章 第四节 一阶线性微分方程。
