函数（上）

2023-07-17 17:23 作者:24bs 0人读过 | 我要投稿

$x%2Cy%5Cin%20%5Cmathbb%20R$ ， $e%5E%7Bx%2B2y%7D-%5Cln(x%2B3y-2)%5Cle%204-y$ ，求 $y-x$ 的值。

$%5Ccdots%20%5CLeftrightarrow%20e%5E%7Bx%2B2y%7D-(x%2B2y)%5Cle%20%5Cln(x%2B3y-2)-(x%2B3y-2)%2B2$

由于 $e%5E%7Bx%2B2y%7D-(x%2B2y)%5Cge%201$ ， $%5Cln(x%2B3y-2)-(x%2B3y-2)%2B2%5Cle%201$ ，故以上不等号均取等，后略

$g(x)%3D%5Clog_2%20%5Cdfrac%7B2x%7D%7Bx%2B1%7D%5C%20(x%3E0)$ ， $f(x)%3D%7Cg(x)%7C%5E2%2Bm%7Cg(x)%7C%2B3m%2B1$ ，若 $f(x)$ 有三个零点，求 $m$ 的值。

$f(x)%3D0$ 是关于 $%7Cg(x)%7C$ 的一元二次方程。对 $g(x)$ 分析可知其在定义域上单调递增，值域为 $(-%5Cinfty%2C2)$ ，则一个 $%7Cg(x)%7C$ 若只对应一个 $x$ 当且仅当 $x%3D0$ ，由韦达定理即 $3m%2B1%3D0$ 。

$f(x)%3D%5Cdfrac%7B2%5Ex%2Bn%7D%7B2%5Ex%2B2%7D$ ， $%5Cforall%20a%2Cb%2Cc%5Cin%20%5Cmathbb%20R%2Cf(a)%2Bf(b)%3Ef(c)$ ，求 $n$ 取值范围。

$%5Ccdots%20%5CLeftrightarrow%202f_%7B%5Cinf%7D%20%5Cge(%5Ctext%7Bor%7D%3E)%5C%20%20f_%7B%5Csup%7D$

反解出值域： $y%3D%5Cdfrac%7B2%5Ex%2Bn%7D%7B2%5Ex%2B2%7D%5CRightarrow%202%5Ex%3D%5Cdfrac%7B2y-n%7D%7B1-n%7D%3E0%5CRightarrow%20(y-1)(y-%5Cdfrac%7Bn%7D%7B2%7D)%3C0$

$f(x)$ 定义域 $%5B1%2C%2B%5Cinfty)$ ， $f(2x)%3D2f(x)$ ，且当 $x%5Cin%20%5B1%2C2)$ 时， $f(x)%3Dx-1$ 。试判断是否 $%5Cexists%20x%5Cin%20%5Cmathbb%20Z%2C%5C%20f(2%5Ex%2B1)%3D8$ 。

由归纳法可知 $f(2%5Ekx)%3D2%5Ekf(x)%2C%5C%20k%5Cin%20%5Cmathbb%20N%5E*$ 。假设存在这样的 $x$ ，分 $x%3E0%2Cx%3D0%2Cx%3C0$ 讨论。若 $x%3E0$ ，则 $f(2%5Ex%2B1)%3Df(2%5Ex(1%2B2%5E%7B-x%7D))%3D2%5Exf(1%2B2%5E%7B-x%7D)$ ，后略；后两种情形略去。总之不存在这样的 $x$ 。

$f(x)%3Dx%5E2%2Bax%2Ba$ ， $A%3D%5C%7Bx%5Cmid%20f(x)%5Cle%20x%5C%7D$ ， $B%3D%5C%7Bx%5Cmid%20f(f(x))%5Cle%20f(x)%5C%7D$ ， $A%5Cnot%3D%20%5Cvarnothing%2CA%5Csubseteq%20B$ ，求 $a$ 取值范围。

由 $A$ 非空知 $a%5Cin%20(-%5Cinfty%2C3-2%5Csqrt2%5D%5Ccup%20%5B3%2B2%5Csqrt2%2C%2B%5Cinfty)$ ；因为 $A%5Csubseteq%20B$ ，故满足 $f(x)%5Cle%20x$ 的 $x$ 一定也满足 $f(f(x))%5Cle%20f(x)$ 。设 $f(x)%5Cle%20x$ 时 $x%5Cin%20%5Bx_1%2Cx_2%5D$ ， $f(x)%5Cin%20%5By_1%2Cy_2%5D$ ，则需要满足 $%5Bx_1%2Cx_2%5D%5Csubseteq%20%5By_1%2Cy_2%5D%5CLeftrightarrow%20y_1%5Cle%20x_1%5Cle%20x_2%5Cle%20y_2$ 。令 $f(x)%3Dx$ 解得 $x_1%3D%5Cdfrac%7B1-a-%5Csqrt%7Ba%5E2-6a%2B1%7D%7D%7B2%7D$ ， $x_2%3D%5Cdfrac%7B1-a%2B%5Csqrt%7Ba%5E2-6a%2B1%7D%7D%7B2%7D$ 。若 $y_1%3Df_%7B%5Cmin%7D%3Df(-%5Cdfrac%7Ba%7D%7B2%7D)$ ，则 $y_1%5Cge%20x_1$ ；若 $y_1%3Df(x_2)%3Dx_2$ ，则 $y_1%3Dx_2%5Cle%20x_1$ ；否则， $y_1%3Df(x_1)%3Dx_1$ ，此时须满足 $-%5Cdfrac%7Ba%7D%7B2%7D%5Cle%20x_1$ ，则 $a%5Cin%20%5B0%2C6%5D$ ，经检验以上两种情形若能取等亦包括在这种情形当中。故 $a%5Cin%20%5B0%2C3-2%5Csqrt2%5D%5Ccup%20%5B3%2B2%5Csqrt2%2C6%5D$ 。

$x%3E1$ 时， $x%5E%7B-4%7De%5Ex-a%5Cln%20x%5Cge%20x%2B1$ 恒成立，求 $a$ 取值范围。

法一： $%5Ccdots%5CLeftrightarrow%20e%5E%7Bx-4%5Cln%20x%7D%5Cge%20a%5Cln%20x%2Bx%2B1$ 恒成立。又 $e%5E%7Bx-4%5Cln%20x%7D%5Cge%20x-4%5Cln%20x%2B1$ ，故令 $x-4%5Cln%20x%2B1%5Cge%20x%2Ba%5Cln%20x%2B1$ ，得 $a%5Cle%20-4$ ，取等略。这是原命题成立的充分条件，而必要性通过反证即可得到。
法二： $a%5Cle%20%5Cdfrac%7Bx%5E%7B-4%7De%5Ex-x-1%7D%7B%5Cln%20x%7D%5Ctriangleq%20f(x)$ ，则 $f(x)%3D%5Cdfrac%7Be%5E%7Bx-4%5Cln%20x%7D-x-1%7D%7B%5Cln%20x%7D%5Cge%20%5Cdfrac%7B-4%5Cln%20x%7D%7B%5Cln%20x%7D%3D-4$ ，可取等，故 $a%5Cle%20f_%7B%5Cmin%7D%3D-4$ 。

$f(x)%3D%5Clg(%5Csqrt%7Bx%5E2-2x%2B2%7D-x%2B1)$ ， $g(x)%3D%5Cdfrac%7B2%5Ex%2B6%7D%7B2%5Ex%2B2%7D$ ，判断以下说法正确性：

A. $f(x)$ 为奇函数

B. $g(x)$ 图像关于点 $(1%2C2)$ 对称

C. $F(x)%5Ctriangleq%20f(x)%2Bg(x)$ 在 $x%5Cin%20%5B1-m%2C1%2Bm%5D$ 上的最大值与最小值之和为 $4$

D. $F(x)%5Ctriangleq%20f(x)%2Bg(x)$ ，若 $F(a)%2BF(-2a%2B1)%3E4$ ，则 $a%5Cin%20(-1%2C%2B%5Cinfty)$

算 $f(x)%2Bf(2-x)$ 可知 $f(x)$ 图像关于点 $(1%2C0)$ 对称；事实上， $f(0)%5Cnot%3D0$ ，故 A 错误。 $t%3Dx-1$ ，故 B 正确。令 $t%3Dx-1$ ，则 $f(x)%3D%5Clg(%5Csqrt%7Bt%5E2%2B1%7D-t)%3D%5Clg(%5Cdfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bt%5E2%2B1%7D%2Bt%7D)$ ，求导可得 $g(x)$ 在 $%5Cmathbb%20R$ 上单调递减； $g(x)%3D%5Cdfrac%7B2%5Ex%2B6%7D%7B2%5Ex%2B2%7D%3D1%2B%5Cdfrac%7B4%7D%7B2%5Ex%2B2%7D$ ，故 $g(x)$ 在 $%5Cmathbb%20R$ 上单调递减；又由两函数图像的对称性可知 C 正确；D 正确性略。故选 BCD。