【种花家务·几何】1-1-11平行线的判定和画法『数理化自学丛书6677版』

2023-11-26 10:44 作者:山嵓 0人读过 | 我要投稿

【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第一章直线、角、平行线——平行线

§1-11平行线的判定和画法

【01】假设当两条直线 AB 和 CD 被截线 EF 所截成的内错角相等（图1·72(1）)，例如 ∠1＝∠2 时，我们来证明直线 AB // CD 。要证实直线 AB 平行 CD，也就是要证实 AB 与 CD 不相交。

【02】由于 ∠1＝∠2，因为 ∠3 和 ∠4 分别是两个等角的补角，所以 ∠3 也等于 ∠4 。

【03】取图(1)线段 MN 的中点 O，把图形在平面内绕着点 O 旋转，使它右边部分转到左边，左边部分（阴影）转到右边，如图(2)所示。

【04】事实上，旋转时点 O 没有动，使线段 ON 转到 OM 的位置，也就是线段 MN 在原来位置调一个头，点 N 调到 M，点 M 调到 N 的位置。

【05】因为 ∠1＝∠2，ND 就与 MA 重合，也就是直线 DC 与 AB 原位置重合；又因为 ∠3＝∠4，MB就与 NC 重合，也就是直线 BA 与 CD 原位置重合，如图(3)所示，其中括号内的字母表示旋转后的位置。

【06】如果我们假定 AB 与 CD 能相交于很远的地方一点 P，则在旋转后的 (A) (B) 和 (C) (D) 的方向恰好是原来的相反方向，根据上述假定，它们又必须相交于 P' 。但是这是不可能的，因为两条直线如果相交，只能有一个交点。

【07】因而我们假定 AB 与 CD 在内错角 ∠1＝∠2 的情形下能相交是不可能的。

【08】所以 AB // CD 就得到了证明。

【注意】本节的证明是用的旋转图形方法，读者初看起来可能会不清楚。建议读者最好用硬纸条依照图1·73(1)做同样的两个模型，使它们的内错角相等，并且把模型固定起来，用红色涂 B 和 D 这两个头，然后把这两个相同的模型重合在一起，以点 O 为中心（在点 O 插一小针）旋转上面那个模型，达到图1·73(3)的位置。通过模型演示一番以后，对这种旋转会清楚得多，再看上面的证明，就容易明白了。

【09】上面的叙述包括两个部分：

1、假设——直线 AB 和 CD 被截线 EF 所截成的内错角相等，即 ∠1＝∠2 。

2、结论——AB // CD 。

【10】如果关于一件数学事实的叙述包含“假设”和“结论”这两个部分，那末这样的叙述就成为一个数学命题，简称命题。例如，§1-1 里的“经过两点可以画一条直线，并且只可以画一条直线”是一个命题，它的假设是“经过两点画直线”；结论是“可以画一直线并且只能画一条直线”。又如§1-9里对顶角的性质也是一个命题，它的假设是“两直线相交所成的对顶角”结论是“对顶角相等”，象这样的命题我们在前面已经学了不少，读者自己去观察一下就会发现的。

【11】如果一个命题根据它假设的条件，经过证明的步骤，证实它的结论是正确时，我们称这个命题为定理。上面这个定理是判定两条直线平行的，因此叫做平行线的“判定定理”。这个定理我们叙述如下：

【12】平行线判定定理1：两条直线和第三条直线相交，如果内错角相等，那末这两条直线平行。

【13】现在我们再来看下面的定理：

【14】平行线判定定理2：两条直线和第三条直线相交，如果同位角相等，那末这两条直线平行。

【已知】∠1＝∠5（就是定理的假设 ∠1＝∠5）。（图1·74）

【求证】AB // CD（就是定理的结论AB // CD）。

【15】在证明定理的时候，应该先进行分析，探求证明的途径，然后再进行证明。

【分析】根据定理1，如果能证得内错角 ∠3＝∠5，就可判定 AB // CD 。这里 ∠1 和 ∠3 是对顶角，所以是相等的。而题设 ∠1＝∠5，就可以证得 ∠3＝∠5 。

【证】∠1＝∠5（已知），又 ∠1＝∠3（对顶角相等），∴ ∠3＝∠5（等于同量的量相等）。根据平行线判定定理1，可以判定：AB // CD 。

【16】这里要特别注意，某些命题必须证明了它的结论是正确的，才能确定这个命题是一个定理。在证明的时候，先要分清命题的已知条件（假设）和求证（结论），也就是已经知道了哪一些条件，要求证的是什么？这一步很重要，当然对初学几何者来说会产生一定的困难，希望读者特别重视。证明时先依照题目的条件画出一个符合于条件的示意图（如图1·74就是），作为分析思考的依据。然后从已知条件和前面已经学到的几何命题（结论已证明是正确的）来探求证明的途径。找到了证明的方法以后，就应该按照证明步骤进行证明，在证明里的每一步都要有根据（已知条件或已经学过的定理），并且把它的根据用简明的叙述写在括号里。例如平行线判定定理2的证明格式，它包含四步：(1)已知；(2)求证；(3)分析；(4)证明。

【17】其中的(1)，(2)，(4)是不可缺少的。分析这一步非常重要，我们通过分析来获得证明的途径，也是能不能证明的关键。但是这一步可以在草稿纸上做，不必写出来。本书所以写出来是做一个示范，启发读者思维和分析能力。

【18】读者或许会这样想，定理为什么一定要经过证明这个步骤呢？下面举出几个例子来说明定理的证明是必要的。

例1.如图1·75中的线段 a 和 b，凭目力来观测，就会感觉线段 a 比线段 b 较长，其实线段 a 是等于线段 b 的，我们用两脚规来量一下就可以证实了。

用两脚规量的过程，就是一种证明的方法，它的依据是等于同量（两脚尖的距离）的量相等。本例说明了目力估计是不足为凭的。

例2.“一个正方形，它的每边是8个单位长，它的面积不是64个，而是65个平方单位。”这个例题是一个诡辩，如果不经过证明，就很难驳倒它（图1·76）。

诡辩的理由是这样的，把正方形分成四部分，如图1·76(1) 。再把梯形Ⅰ和三角形Ⅲ，梯形Ⅱ和三角形Ⅳ拼成图1·76(2) 。把(2)中的两个三角形拼成图1·76(3)，而(3)是一个长方形，它的宽是 5 个单位，长是 13 个单位，由于 13×5＝65，所以它的面积是 65 个平方单位。

其实诡辩的理由是不成立的。因为它用的是“实验方法”。是没有根据的。图(2)就不是三角形，图(3)也不是长方形。这些都必须经过证明来批驳它。本例说明了凭脱空的实验也是不可靠的。象这样的例子很多，这里不多举了。

【19】总之，一个定理是否成立，必须经过证明才能确定。下面我们来讨论平行线的判定：

【20】平行线判定定理3：两条直线和第三条直线相交，如果同旁内角的和等于 180°，那末这两条直线平行。

【已知】∠4＋∠5＝180°（图1·77）。

【求证】EF // GH 。

【分析】如果能证得 ∠3＝∠5，就可判定 EF // GH 。∠3＋∠4＝180°（EF是直线），又已知 ∠5＋∠4＝180°，从此可以知道 ∠3＝∠5 。

【证】∠5＋∠4＝180°（已知），又 ∠3＋∠4＝180°（EF是直线），

∴ ∠3＝∠5（同角的补角相等）。

根据平行线判定定理1，可以判定： EF // GH 。

【21】根据上述的判定定理，我们可以用直尺和三角板作平行线。画的方法如下：

【22】将三角板靠在直尺上，如图1·78所示。把三角板移动，使它的一条边顺着直尺滑动，而顺着三角板的其他一边作两条直线，则这两条直线是平行线（根据判定定理2）。

【23】画平行线还可以用丁字尺〖山注|| 好怀念啊！我是大学学习“建筑制图”时才开始使用丁字尺，然后就开启了我工程绘图的噩梦，幸亏大三开始学习“CAD制图”，这才解脱。〗。丁字尺分尺头、尺身两部（图1·79），尺头的里边和尺身的上边应平直，并且一般互相垂直，也有把尺头和尺身用螺栓连接起来，可以转动尺头，使它和尺身成一定的角度。