【数分/高数思想方法】数列极限——极限的证明【定义法/柯西收敛准则】

2023-08-03 20:32 作者:后起达人 0人读过 | 我要投稿

前言：本专栏是一个系列教程。会将高数数分的思想方法大致都过一遍，算是进阶版的教程【√

这次的内容是数列极限中的证明与计算，理论上数列极限的引入要建立在实数公理系统之上，不过考虑到高数没有相关内容，这里就先挖个坑以后再填【lan√】，看本专栏前你需要将相关基础知识都看一遍，要求很低，只需要达到了解的程度即可。

数列极限——极限的证明问题

一、用定义证明数列极限

二、用柯西收敛准则证明极限

三、证明极限不存在以及否定形式的应用

四、利用单调有界证明极限存在

五、利用子列及归结原则

本专栏为一、二部分的内容。

一、用定义证明数列极限

I.极限定义的ε-N法

回顾数列极限的定义：

$%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%3E0%2C%5Cexists%20%E6%AD%A3%E6%95%B4%E6%95%B0N%2C%E5%BD%93n%3EN%E6%97%B6%2C%5Cvert%20%20a_n-A%5Cvert%20%3C%5Cvarepsilon%20$

记为 $%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20a_n%3DA%20$

由极限定义可以推得收敛数列an具有唯一性、有界性、保号性、迫敛性【夹逼准则】

用定义证明时，给定的是任意小的数，只有N是要求的，找到N=N(ε)即可，一般采取以下方法：

①解方程 $%5Cvert%20a_n-A%20%5Cvert%20%3C%5Cvarepsilon%20%5Cimplies%20n%3EN(%5Cvarepsilon%20)%2C%E4%BB%A4N%3DN(%5Cvarepsilon%20)$ 即可得证

②放大法（放缩）：当①中的方程不好解的时候可以采取该方法，将不等式左边放缩一个n的函数f(n)，只需要f(n)<ε即可，用式子表示：

$%5Cvert%20a_n-A%20%5Cvert%20%E2%89%A4f(n)%3C%5Cvarepsilon%20%5Cimplies%20n%3EN(%5Cvarepsilon%20)%2C%E4%BB%A4N%3DN(%5Cvarepsilon%20)$

③分布法：假定n已经足够大，大于某数，将式子拆开，大于某数的项方便放缩，这个后面会讲。

下面给出一些典例：

$%E5%AE%9A%E7%90%861%EF%BC%9A%E8%AE%BE%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20a_n%3DA%2C%E5%88%99%E6%9C%89%20$

$(1)%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7Ba_1%2Ba_2%2B%5Ccdot%20%5Ccdot%20%5Ccdot%20%2Ba_n%20%7D%7Bn%7D%20%20%3DA$

$(2)%E8%8B%A5a_n%3E0%EF%BC%8C%E5%88%99%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba_1a_2%5Ccdot%20%5Ccdot%20%5Ccdot%20a_n%7D%3DA%20%20$

解析：建立在（1）的基础之上，假设（1）成立，那么（2）显然成立

这是由于均值不等式

$%5Cfrac%7Bn%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba_1%7D%2B%5Ccdot%20%5Ccdot%20%5Ccdot%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7Ba_n%7D%20%7D%20%E2%89%A4%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba_1%5Ccdot%20%5Ccdot%20%5Ccdot%20a_n%7D%20%5Cleq%20%5Cfrac%7Ba_1%2B%5Ccdot%20%5Ccdot%20%5Ccdot%20%2Ba_n%7D%7Bn%7D%20$

最右边由（1）得显然趋于0，来看不等式最左边，再利用（1）的结论【A=0时显然成立】：

$%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Ba_n%7D%20%20%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BA%7D%20%5Cimplies%20%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba_1%7D%20%2B%5Ccdot%20%5Ccdot%20%5Ccdot%20%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba_n%7D%20%7D%7Bn%7D%20%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BA%7D%20$

再倒一下，因此左边也趋于A，由夹逼准则，得证。

重点关注第一问，这里就要用到分布法：

（1）的证明：

对an→A用极限的定义表述，即

$%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%3E0%2C%5Cexists%20N_1%2C%E5%BD%93n%3EN_1%E6%97%B6%2C%5Cvert%20a_n-A%20%5Cvert%20%3C%5Cfrac%7B%5Cvarepsilon%20%7D%7B2%7D%20$

观察要证等式用极限定义所得不等式的左边，为了方便放缩，用一下绝对值不等式

$I%3D%5Cvert%20%5Cfrac%7Ba_1%2B%5Ccdot%20%5Ccdot%20%5Ccdot%2Ba_n%20%7D%7Bn%7D%20%20-A%5Cvert%20%EF%BC%9D%5Cvert%20%5Cfrac%7B%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%20(a_k-A)%7D%7Bn%7D%20%20%5Cvert%20%5Cleq%20%5Cfrac%7B%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%20%5Cvert%20a_k-A%20%5Cvert%20%7D%7Bn%7D%20$

n>N1的部分即可用定义式放缩，因此上式

$I%5Cleq%20%5Cfrac%7B%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7BN_1%7D%5Cvert%20a_k-A%20%5Cvert%20%20%20%7D%7Bn%7D%20%2B%5Cfrac%7B%5Cvarepsilon%20%7D%7B2%7D%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7Bn-N_1%7D%7Bn%7D%20$ ,记为式（#）

这里第一项分子是有限项，所以趋于0，这里再用一次极限的定义式子：

$%E5%AF%B9%E4%B8%8A%E8%BF%B0%5Cvarepsilon%20%3E0%2C%5Cexists%20N_2%2C%E5%BD%93n%3EN_2%E6%97%B6%2C%5Cfrac%7B%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7BN_1%7D%20%5Cvert%20a_k-A%20%5Cvert%20%7D%7Bn%7D%20%3C%5Cfrac%7B%5Cvarepsilon%20%7D%7B2%7D%20$

$%E5%8F%96N%3D%5Cmax%5Cleft%5C%7B%20N_1%2CN_2%20%5Cright%5C%7D%20$

并代入（#）式子右边得

$I%3C%5Cfrac%7B%5Cvarepsilon%20%7D%7B2%7D%20%2B(1-%5Cfrac%7BN_1%7D%7Bn%7D%20)%5Ccdot%20%5Cfrac%7B%5Cvarepsilon%20%7D%7B2%7D%20%3C%5Cfrac%7B%5Cvarepsilon%20%7D%7B2%7D%20%2B%5Cfrac%7B%5Cvarepsilon%20%7D%7B2%7D%20%3D%5Cvarepsilon%20$

由极限定义，得证。

【事实上这个问题用stolz公式可以直接做出来，这个公式后续专栏会有专题，故这里暂时不提】

这里的证明就用到了分步法，假定n已经大于N1将式子拆成n小于N1的部分和n大于等于N1的部分，再进行放缩，用这种方法结合（定理1）也可以证明下面这个定理:

$%E5%AE%9A%E7%90%862%3A%E8%8B%A5%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20x_%7B2n-1%7D%3Da%2C%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20x_%7B2n%7D%3Db$

$%E5%88%99%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7Bx_1%2Bx_2%2B%5Ccdot%20%5Ccdot%20%5Ccdot%20%2Bx_n%7D%7Bn%7D%20%3D%5Cfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7D%20$

这个证明和之前的差不多，不再赘述了，请读者自己完成【不会再来私信⑧】

提示一下：

$%E4%BB%A4y_n%3D%5Cfrac%7Bx_1%2B%5Ccdot%20%5Ccdot%20%5Ccdot%2Bx_n%20%7D%7Bn%7D%20%2C%E5%85%88%E8%AF%81y_%7B2n%7D%E2%86%92%5Cfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7D%20%E5%86%8D%E8%AF%81y_%7B2n%2B1%7D%E2%86%92%5Cfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7D%20$

II.拟合法

再介绍一种不太常用的拟合法：在用定义证明| an-A |<ε时，有时候an无法简化，可以考虑把A转化成n的函数：A=A(n),一般情况下会用到这个公式:

$%E5%85%AC%E5%BC%8F%3AA%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20%5Cfrac%7B2i-1%7D%7Bn%5E2%7D%20A$

下面给一个典例:

$%E4%BE%8B%3A%E8%AE%BEf(x)%E4%B8%8Ex%E4%B8%BAx%E2%86%920%E6%97%B6%E7%9A%84%E7%AD%89%E4%BB%B7%E6%97%A0%E7%A9%B7%E5%B0%8F%2Cx_n%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20f(%5Cfrac%7B2i-1%7D%7Bn%5E2%7Da%20)$

$%E6%B1%82%E8%AF%81%3A%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20x_n%3Da%2C%E5%85%B6%E4%B8%ADa%3E0$

证明:

套用上面的公式，写出极限定义式，用绝对值不等式放缩：

$%5Cvert%20x_n-a%20%5Cvert%20%3D%5Cvert%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Enf(%5Cfrac%7B2i-1%7D%7Bn%5E2%7D%20a)%20-%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%5Cfrac%7B2i-1%7D%7Bn%5E2%7D%20a%20%20%5Cvert%20$

$%3D%5Cvert%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En(f(%5Cfrac%7B2i-1%7D%7Bn%5E2%7Da%20)-%5Cfrac%7B2i-1%7D%7Bn%5E2%7Da%20)%20%20%5Cvert%20%5Cleq%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20%5Cvert%20f(%5Cfrac%7B2i-1%7D%7Bn%5E2%7Da%20)-%5Cfrac%7B2i-1%7D%7Bn%5E2%7Da%20%20%20%5Cvert%20$

再根据极限的定义式，只需证明

$%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20%5Cvert%20f(%5Cfrac%7B2i-1%7D%7Bn%5E2%7Da%20)-%5Cfrac%7B2i-1%7D%7Bn%5E2%7Da%20%20%20%5Cvert%3C%5Cvarepsilon%20%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%5Cfrac%7B2i-1%7D%7Bn%5E2%7D%20%5Cvarepsilon%20$

只需证明左边的每一项小于右边的每一项，即

$%20%5Cvert%20f(%5Cfrac%7B2i-1%7D%7Bn%5E2%7Da%20)-%5Cfrac%7B2i-1%7D%7Bn%5E2%7Da%20%20%20%5Cvert%3C%5Cfrac%7B2i-1%7D%7Bn%5E2%7D%20%5Cvarepsilon%3D%5Cfrac%7B2i-1%7D%7Bn%5E2%7D%20%20a%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B%5Cvarepsilon%20%7D%7B%20a%20%20%7D%20$

【右边式子凑一个a，为了和左边一致】

$%5Ciff%20%5Cvert%5Cfrac%7Bf(%5Cfrac%7B2i-1%7D%7Bn%5E2%7Da)-%5Cfrac%7B2i-1%7D%7Bn%5E2%7Da%7D%7B%5Cfrac%7B2i-1%7D%7Bn%5E2%7Da%20%7D%20%20%5Cvert%3D%20%5Cvert%5Cfrac%7Bf(%5Cfrac%7B2i-1%7D%7Bn%5E2%7Da)%7D%7B%5Cfrac%7B2i-1%7D%7Bn%5E2%7Da%20%7D%20%20-1%20%5Cvert%3C%5Cfrac%7B%5Cvarepsilon%20%7D%7B%20a%20%20%7D%20$

此式子记为（*）

由f(x)与x为等价无穷小，得到

$%5Clim_%7Bx%5Cto0%7D%20(%5Cfrac%7Bf(x)%7D%7Bx%7D%20-1)%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20(%5Cfrac%7Bf(%5Cfrac%7B2i-1%7D%7Bn%5E2%7Da%20)%7D%7B%5Cfrac%7B2i-1%7D%7Bn%5E2%7Da%7D%20-1)%3D0$

由极限定义式（*）得证

III.利用极限的邻域描述形式

接下来介绍极限定义的邻域描述：

$%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%3E0%2C%E8%8B%A5%E5%9C%A8U(A%2C%5Cvarepsilon%20)%E5%A4%96%E7%9A%84%E9%A1%B9%E8%87%B3%E5%A4%9A%E4%B8%BA%E6%9C%89%E9%99%90%E4%B8%AA%5Ciff%20%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20a_n%3DA$

反之
$%5Cexists%20%5Cvarepsilon_0%3E0%2C%E4%BD%BF%E6%9C%89%E6%97%A0%E7%A9%B7%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E8%90%BD%E5%9C%A8U(a%2C%5Cvarepsilon_0)%E5%A4%96%5Ciff%20%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20a_n%5Cneq%20A$

这个很好理解。

$%E5%AE%9A%E7%90%863%3A%E8%AE%BE%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20x_n%3Da%2C%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20y_n%3Db$

$%E4%BD%9C%E6%95%B0%E5%88%97z_n%3Ax_1%2Cy_1%2Cx_2%2Cy_2%2C%5Ccdot%20%5Ccdot%20%5Ccdot%20%2Cx_n%2Cy_n%2C%5Ccdot%20%5Ccdot%20%5Ccdot%20$

$%E6%B1%82%E8%AF%81%3Az_n%E6%94%B6%E6%95%9B%5Ciff%20a%3Db$

这个问题用邻域描述的方法就方便得多

证明

①必要性：设zn→A，则∀ε>0,{zn}中落在U(A,ε)外的项至多有限，因此{xn},{yn}中落在U(A,ε)外的项至多有限，即A=limxn=limyn

② 充分性：由a=b=A，得到{xn},{yn}中落在U(A,ε)外的项至多有限，因此{zn}同理，得证。

二、用柯西收敛准则证明极限

回顾柯西收敛准则

$%7Bx_n%7D%E6%94%B6%E6%95%9B%5Ciff%20%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%3E0%2C%5Cexists%20N%2C%5Cforall%20m%2Cn%3EN%2C%5Cvert%20x_m-x_n%20%5Cvert%20%3C%5Cvarepsilon%20$

$%5Ciff%20%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%3E0%2C%5Cexists%20N%2C%E5%BD%93n%3EN%E6%97%B6%2C%5Cvert%20x_%7Bn%2Bp%7D-x_n%20%5Cvert%20%3C%5Cvarepsilon%20(%5Cforall%E6%AD%A3%E6%95%B4%E6%95%B0p%20)$

$%E6%B3%A8%EF%BC%9A%E6%AD%A4N%E5%8F%AA%E4%B8%8E%5Cvarepsilon%20%E6%9C%89%E5%85%B3%EF%BC%8C%E4%B8%8Ep%E6%97%A0%E5%85%B3%EF%BC%8C%E5%8D%B3N%3DN(%5Cvarepsilon%20)$

即{xn}为基本列

柯西收敛准则的特点是，不需要预先猜测极限的值就能证明收敛性。

不过事实上这个准则更多是用于证明数列极限的特殊形式——数项级数的收敛性

这里只举一例：

$%E4%BE%8B%3A%E8%AF%81%20%E6%98%8Ex_n%3D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%20%5Cfrac%7B%5Csin%20k%20%7D%7B2%5Ek%7D%20%E6%94%B6%E6%95%9B$

证明：

$%5Cvert%20x_%7Bn%2Bp%7D-x_n%20%5Cvert%20%3D%5Csum_%7Bk%3Dn%2B1%7D%5E%7Bn%2Bp%7D%20%5Cfrac%7B%5Csin%20k%20%7D%7B2%5Ek%7D%20%5Cleq%20%5Csum_%7Bk%3Dn%2B1%7D%5E%7Bn%2Bp%7D%20%5Cfrac%7B1%20%7D%7B2%5Ek%7D%5Cleq%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5En%7D%20$

因此只需

$%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5En%7D%20%3C%5Cvarepsilon%20%5Ciff%20n%3E%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cvarepsilon%20%7D%20%2C%E5%8F%96N%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cvarepsilon%20%7D%20%E5%BE%97%E8%AF%81$