【秦皇】正式考据(九),九章算术(方田,粟米,衰分,少广)~
终于重新买了图书馆,然鹅。。。九章算术原文&翻译都让人头秃。。。。所以决定一点点百度搜集简单版。。。。我一定要把九章算术每章讲什么应用搞明白!^_^
这是想做的,就去做吧!

百度百科直接就有详细的章节介绍,所以一章章来吧!《九章算术》共收有246个数学问题,分为九章——这名字也是简单粗暴了。。。等过完章节再来算数学问题都是啥。。

第一章“方田”: 主要讲述了平面几何图形面积的计算方法。包括长方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圆形、扇形、弓形、圆环这八种图形面积的计算方法。另外还系统地讲述了分数的四则运算法则,以及求分子分母最大公约数等方法。其中例题38个,立术21条。
那首先就找平面几何面积的题目,看是怎么出的,百度找到能复制的文章^_^
今有田广十五步,从十六步。问为田几何?
答曰:一亩。
这是很简单的求面积,15步*16步=240平方步=1亩——关于古今计量单位的换算已经不想了解了。。。。

今有田广七分步之四,从五分步之三。问为田几何?
答曰:三十五分步之十二。
分数乘法求面积

今有圭田广十二步,正从二十一步。问为田几何?
答曰:一百二十六步。
三角形田求面积,正从是高,1/2*12*21=126

今有邪田,一头广三十步,一头广四十二步,正从六十四步。问为田几何?
答曰:九亩一百四十四步。
梯形。。。

今有箕田,舌广二十步,踵广五步,正从三十步。问为田几何?
答曰:一亩一百三十五步。
等腰梯形

又有圆田,周一百八十一步,径六十步、三分步之一。问为田几何?
答曰:十一亩九十步、十二分步之一。
术曰:半周半径相乘得积步。
又术曰:周径相乘,四而一。
又术曰:径自相乘,三之,四而一。
又术曰:周自相乘,十二而一。
圆形,周是周长,径是直径

又有宛田,下周九十九步,径五十一步。问为田几何?
答曰:五亩六十二步、四分步之一。
术曰:以径乘周,四而一。
弧形田,1/2*lr,下周是弧长

又有弧田,弦七十八步、二分步之一,矢十三步、九分步之七。问为田几何?
答曰:二亩一百五十五步、八十一分步之五十六。
术曰:以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一。
这个是弓形田,弦没百度,矢就是弓形高

又有环田,中周六十二步、四分步之三,外周一百一十三步、二分步之一,径十二步、三分步之二。问为田几何?
答曰:四亩一百五十六步、四分步之一。
术曰:并中外周而半之,以径乘之为积步。
密率术曰:置中外周步数,分母、子各居其下。母互乘子,通全步,内分子。以中周减外周,余半之,以益中周。径亦通分内子,以乘周为实。分母相乘为法,除之为积步,余积步之分。以亩法除之,即亩数也。
这个是环形田
嘿嘿,八种面积就都齐全了

到分数的四则运算法则,求分子分母最大公约数
这里的约分是直接上的哎
今有十八分之十二。问约之得几何?
答曰:三分之二。
约分术曰:可半者半之,不可半者,副置分母子之数,以少减多,更相减损,求其等也。以等数约之。
这古文方法不懂,但是18/12感觉也不想研究是怎么约的。。。我会约就行了QAQ

又有四分之三,减其三分之一。问余几何?
答曰:十二分之五。
减分术曰:母互乘子,以少减多,余为实,母相乘为法,实如法而一。
分数加减也是直接出题的。。。

又有二十一分之八,五十分之十七。问孰多?多几何?
答曰:二十一分之八多,多一千五十分之四十三。
课分术曰:母互乘子,以少减多,余为实,母相乘为法,实如法而一,即相多也。
艾玛,这还比大小。。。。

又有二分之一,三分之二,四分之三。问减多益少,各几何而平?
答曰:减三分之二者一,四分之三者四,并以益二分之一,而各平于三十六分之二十三。
平分术曰:母互乘子,副并为平实,母相乘为法。以列数乘未并者各自为列实。亦以列数乘法,以平实减列实,余,约之为所减。并所减以益于少,以法命平实,各得其平。
妈呀,这是求平均数,还有怎么到达平均数——这个我感觉就是已经有三块田要重新均分,古代小吏真的能这么公平?但计算还是要公平的。。。

又有三人,三分人之一,分六钱三分钱之一,四分钱之三。问人得几何?
答曰:人得二钱、八分钱之一。
经分术曰:以人数为法,钱数为实,实如法而一。有分者通之,重有分者同而通之。
3+1/3个人,钱是6+1/3+3/4钱——这是在衙门里按功劳分奖赏啥的么。。。
这是除法,乘法在上面的田面积里有分数相乘的

第二章粟米,就是谷粮买卖兑换折换。是比例相关,称为今有术 。
粟米之法:
粟率五十;粝米三十;稗米二十七;凿米二十四;御米二十一;小十三半;大五十四;粝饭七十五;稗饭五十四;绺饭四十八;御饭四十二;菽、答、麻、麦各四十五;稻六十;豉六十三;飧九十;熟菽一百三半;櫱一百七十五。今有术曰:以所有数乘所求率为实,以所有率为法,实如法而一。
这是以粟米为基准的各种米兑换比例
今有粟一斗,欲为粝米。问得几何? 答曰:为粝米六升。
术曰:以粟求粝米,三之,五而一。
看了好些个例题,就都是简单的比例兑换
其实一直都觉得分数和比例差不多,不过现在看来,是应用上的不同, 一个是长度上求面积,一个是谷粮兑换

第三章衰分,是分配物资相关的,也是比例相关。应用上涉及到社会生活的很多方面,比如按爵分配,赔偿问题,纳税,徭役,还有贷款利息的计算。
今有大夫、不更、簪裹、上造、公士,凡五人,共猎得五鹿,欲以爵次分之,问各得几何?
答曰:大夫得一鹿,三分鹿之二
不更得一鹿,三分鹿之一
簪裹得一鹿
上造得三分鹿之二
公士得三分鹿之一
术曰:列置爵数,各自为衰,副并为法。以五鹿乘未并者,各自为实。实如法得一鹿。
比较典型的衰分问题,按照现代数学的算法,是一个等差数列
5-4-3-2-1等差,则是5/15-4/15-3/15-2/15-1/15,分五头鹿,分别乘以5就行

今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗。羊主曰:我羊食半马,马主曰,我马食半牛。今欲衰偿之,问各出几何。
答曰:牛主出二斗八升,七分升之四
马主出一斗四升,七分升之二
羊主出七升,七分升之一
术曰:置牛四,马二,羊一,各自为列衰,副并为法。以五斗乘未并者各自为实。实如法得一斗。
羊马牛,1-2-4,则是1/7-2-7-4/7,共五斗,分别乘以五
其他的题目类似,其实等差数列和等比数列,感觉在计算的时候都跟上面的题目一样,直接算就好了,但不同的数学分类,原来是应用不同,长度是分数的求面积,和谷粮兑换,还有这个物资分配,都是不同的应用的
其实很喜欢这样去理解数学。。。。

第四章少广,就是知道面积,体积,求边长和半径长,介绍了开平方,开立方方法。
到这一篇,百度能找到的就都是各种文库里的文了了。。。。
《九章算术·少广》:“少广以御积幂方圆。” 李淳风 注:“一亩之田,广一步,长二百四十步。今欲截取其从,少以益其广,故曰少广。
一个标准面积的长方形,比如一亩,将这面积转换为一个正方形,长边长减短是“从少”,短边长增加是“广益”,一少一益面积不变,从而求一亩之田不同广之下的长。。。

就是这种操作。。。
我以为这是用来就求开方的,原来真的是知道面积求边长啊,不就是除法嘛。。。。
今有田廣一步半。求田一畝,問從幾何?
荅曰:一百六十步。
術曰:下有半,是二分之一。以一為二,半為一,并之得三,為法。置田二百四十步,亦以一為二乘之,為實。實如法得從步。
一亩是240步,广是1+1/2步,那么从不就是240/(3/2)=160步了。。。
少广这名字起的就觉得算法太复杂。。。。但实际上感觉并不复杂啊。。。除法是乘以倒数这个定律一用,就超简单的。。。古人用了其他复杂的方法吗?我多瞄瞄
少广章一直到第11题,都是各种广,就是把分数相加再复习一遍。。。。
然后从12题开始,有复杂的了

又有积三十九亿七千二百一十五万六百二十五步。问为方几何? 荅曰:六万三千二十五步。
开方术曰:置积为实。借一算步之,超一等。议所得,以一乘所借一算为法,而以除。除已,倍法为定法。其复除。折法而下。复置借算步之如初,以复议一乘之,所得副,以加定法,以除。以所得副从定法。复除折下如前。若开之不尽者为不可开,当以面命之。若实有分者,通分内子为定实。乃开之,讫,开其母报除。若母不可开者,又以母乘定实,乃开之,讫,令如母而一。
这里就是求开方了

今有积三百步。问为圆周几何?
荅曰:六十步。
开圆术曰:置积步数,以十二乘之,以开方除之,即得周。
这个是圆面积求周长

又有积一万六千四百四十八亿六千六百四十三万七千五百尺。问为立圆径几何?
荅曰:一万四千三百尺。
开立圆术曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即丸径。
这个是圆体积求直径

这篇先over吧~