做了一题圆锥曲线证明题，这是他大脑发生的变化

2023-01-29 11:02 作者:一氧化二氢天体 0人读过 | 我要投稿

前排提示：文章会比较绕一点，要仔细阅读

上个学期初在学习圆锥曲线的时候看到了一题证明蝴蝶定理的题：

过圆AB弦的中点M，任意做两条弦CD和EF，CF和ED交弦AB于P，Q。求证PM=QM

答案使用了曲线系证明：

以 $M$ 为原点， $AB$ 所在直线为 $x$ 轴建立直角坐标系，设圆方程 $x%5E2%2B(y-b)%5E2%3Dr%5E2%20%20%20(%5Cvert%20b%20%5Cvert%20%3Cr)$

设直线 $CD%EF%BC%8CEF$ 的方程分别为

$y%3Dk_%7B1%7D%20x%2Cy%3Dk_%7B2%7D%20x$

将它们合并为

$(y-k_%7B1%7Dx%20)(y-k_%7B2%7Dx%20)%3D0$

于是过点 $CDEF$ 的曲线系方程为

$x%5E2%2B(y-b)%5E2-r%5E2%2B%5Clambda%20(y-k_%7B1%7Dx%20)(y-k_%7B2%7D%20x)%3D0$

令 $y%3D0$ ，得

$x%5E2(1%2B%5Clambda%20k_%7B1%7Dk_%7B2%7D%20)%20%2Bb%5E2-r%5E2%3D0$

即过点 $CDEF$ 的曲线系与 $AB$ 交于点 $P%EF%BC%8CQ$ 的横坐标是方程

$x%5E2(1%2B%5Clambda%20k_%7B1%7Dk_%7B2%7D%20)%20%2Bb%5E2-r%5E2%3D0$ 的两根，

由韦达定理得 $x_%7BP%7D%2B%20x_%7BQ%7D%20%3D0$ ,即 $M$ 是 $PQ$ 的中点，故 $PM%3DQM$

当我第一次看到这个答案时我觉得就觉得哪里很奇怪，于是我和同学去请教老师，但老师给出的解释没有听明白，但老师认为这个证明是对的（只好作罢离去）。

之后复习的时候我又一次看到了这道题，我那时反而觉得答案顺理成章，是一个漂亮的，简洁的证明。

但现在我又又又返回去回顾时，发现事情有点不对劲，但这次终于可以把它表述出来了（*发出得意的鸣叫）：既然

过点 $CDEF$ 的曲线系方程为

$x%5E2%2B(y-b)%5E2-r%5E2%2B%5Clambda%20(y-k_%7B1%7Dx%20)(y-k_%7B2%7Dx%20)%3D0$

是一个最高项为二次的方程，那么你不管怎么去拿一条直线去截它，它与你拿出来的那条直线的交点就不可能超过两个，换句话说，我们不可能在这个曲线系方程的图像中找到不同的三个点，这个三点还共线。那么我们也就可以大胆地说

过点 $CDEF$ 的曲线系与 $AB$ 交于点 $P%EF%BC%8CQ$ 的横坐标并不是方程

$x%5E2(1%2B%5Clambda%20k_%7B1%7Dk_%7B2%7D%20)%20%2Bb%5E2-r%5E2%3D0$ 的两根，那么答案又为什么恰好对的上呢？

难道只是个巧合吗？

直觉告诉我们没这么简单

圆锥曲线和三点共线它们之间有什么样的关系呢？

换一种问法答案可能就呼之欲出：圆锥曲线确实不管拿直线怎么截都最多只有两个交点，但什么样的圆锥曲线可以使得在这个曲线上的第三个点无限靠近这条直线呢？

答案就是双曲线！因为双曲线有两条渐进线，我们可以让渐近线去逼近那两条直线，我们通过调整 $%5Clambda%20$ 的值使得这条

过点 $CDEF$ 的曲线系方程无限去与直线 $ED%EF%BC%8CCF$ 拟合

$x%5E2%2B(y-b)%5E2-r%5E2%2B%5Clambda%20(y-k_%7B1%7Dx%20)(y-k_%7B2%7D%20x)%3D0$

接下来是错误示范

“

但是，由于这种拟合永远只能靠近，而不能达到，而 $%5Clambda%20$ 的取值范围又是 $%EF%BC%88-%E2%88%9E%EF%BC%8C%2B%E2%88%9E%EF%BC%89$

所以无限拟合的时候 $%5Clambda%20$ 一定不是趋近某个取得到的具体的实数值，而是我们永远无法到达的真实，那么只剩下两种选择： $-%E2%88%9E%EF%BC%8C%2B%E2%88%9E$

接下来仅以正无穷代入来说明（负无穷同理）

当 $%5Clambda%20%3D%2B%E2%88%9E$ 时：

$x%5E2%2B(y-b)%5E2-r%5E2%2B%5Clambda%20(y-k_%7B1%7D%20x)(y-k_%7B2%7Dx%20)%3D0$ 中的

$x%5E2%2B(y-b)%5E2-r%5E2$ 在右边含 $%5Clambda%20$ 的那一项的对比之下，其对整体的影响越来越小，所以可以忽略不计，只剩下 $(y-k_%7B1%7D%20x)(y-k_%7B2%7Dx%20)%3D0$

”

果真如此吗？

其实并不是

$(y-k_%7B1%7D%20x)(y-k_%7B2%7Dx%20)%3D0$ 的图像其实是此时圆锥曲线去无限逼近直线 $CD%EF%BC%8CEF$ 而不是 $ED%EF%BC%8CCF$ ，那么我上面的分析哪里有问题呢？这个问题其实和我上面的

“

过点 $CDEF$ 的曲线系方程为

$x%5E2%2B(y-b)%5E2-r%5E2%2B%5Clambda%20(y-k_%7B1%7Dx%20)(y-k_%7B2%7Dx%20)%3D0$

是一个最高项为二次的方程，那么你不管怎么去拿一条直线去截它，它与你拿出来的那条直线的交点就不可能超过两个

”

有关系（提示：和红色的部分有很大关系）

欢迎大家在评论区讨论（能论述清晰的同志奖励置顶一个[doge]）（啧啧，其实就是自己懒）

但是无论如何，我们可以确定的是：当 $%5Clambda%20$ 取遍所有实数时，它的图像一定是包含了所有的，会过 $CDEF$ 的曲线，那么一定包含了渐近线无限趋近于直线 $ED%EF%BC%8CCF$ 的双曲线，因此我们可以说这个双曲线与 $x$ 轴的交点就会无限趋近点 $Q%EF%BC%8CP$ ，这样才可以完成证明，但是很明显，原来给出的答案并没有考虑到这一点

别急（接下来要开始绕了）

从上面我们就可以看出， $M$ 总是会平分过点 $CDEF$ 的二次曲线与 $x$ 轴交点的连线段，但这两个交点并不一定是点 $Q%EF%BC%8CP$

（其实是可以的，因为通过调整 $%5Clambda%20$ 的值可以使

$x%5E2%2B(y-b)%5E2-r%5E2%2B%5Clambda%20(y-k_%7B1%7D%20x)(y-k_%7B2%7Dx%20)%3D0$

$%5Calpha%5Cbeta%20%20%3D0$ ：假设 $ED$ 方程为 $%5Calpha%20%3D0$ ， $CF$ 方程为 $%5Cbeta%20%20%3D0$ （这就是上面疑问的答案，此时的 $%5Clambda%20$ 是一个可以取得到的值，我们拿直线（这个直线就要看成x*轴， $ED$ 和 $CF$ 的表达式就要用以x*轴当作新的坐标轴去写，此时有可能会使这个 $%5Calpha%5Cbeta%20%20%3D0$ 是个恒成立的式子，其实就是 $ED$ 或 $CF$ 的方程中有一条可以写成 $y*%3D0$ ，那么就有可能三点共线，其实就是 $ED$ 或 $CF$ 中有一条直线和x*轴重合，先挖个坑）去截就有可能导致交点有无数个，这时候在新坐标系下它的表达式就不是二次的，而是零次的））（不知道有没有人理解了上面括号里的东西，先挖坑以后再填）