【银蛇出品】数学漫谈9——玩玩初等函数的Taylor级数和Laurent级数(下)
前置知识：高等数学(一元函数微积分、无穷级数)、复变函数(解析函数、积分、级数、留数)
上一次，我们遗留了三个问题：
为什么函数1/(1+x²)的收敛半径是1？
函数x/(eˣ-1)的收敛半径是怎样确定的？
诸如反双曲余弦函数等，它们没有Taylor级数展开，这是为什么？
这次我们将一一解答上述问题。
接下来需要用到复变函数的知识，考虑到观众同学可能没有学过复变函数，首先我将对要用到的知识做简要说明。若无特殊声明，所考虑的变量z(z=x+iy, x, y为实数)都是在复数域内的。
对于一个一般的复函数f(z)，我们总可以把它写成
于是，研究一个复函数时，可以从两个二元实函数出发。可以验证，所有基本初等函数的求导公式对复函数同样成立。
复函数解析是对实函数可微概念的推广，但解析的限制要强于可微。复函数f(z)在区域D内解析，不仅要求其实部u(x,y)和虚部v(x,y)在区域D内可微，还要满足Cauchy-Riemann方程
这样的函数f(z)被称为D上的复解析函数，也叫全纯函数。可以证明，zⁿ(n=1,2,…)，eᙆ都是全纯函数。如此严格的限制使得全纯函数拥有很好的性质，如全纯函数无穷次可微，且其任意次导函数仍为全纯函数(这为我们对全纯函数一定可以进行Taylor级数展开提供了直接证据)；闭路积分为0(著名的Cauchy积分定理)，等等。这些性质为复变函数的研究脱离实函数而自成一个分支体系奠定了基础。
还有另一种函数，它在某点z0处不解析(这个点称为孤立奇点)，但是在z0的邻域内处处解析，这样的函数称之为亚纯函数。如sin(z)就是亚纯函数，z=kπ(k=…,-2,-1,0,1,2,…)是其奇点。亚纯函数的性质比全纯函数稍差，其导函数只能是亚纯函数。这使得亚纯函数的幂级数展开是Laurent级数。
Laurent级数是对幂级数的推广。形如
的函数项级数就是Laurent级数。不知观众同学一直以来是否有个疑问，收敛半径中的“半径”从何而来？毕竟实函数中，级数在一个对称区间内收敛，就起一个“收敛半径”这样的名字也太小题大做了吧？如果你有这样的疑惑，那么，Laurent级数会告诉你答案。
接下来给出一个十分重要的定理。设亚纯函数f(z)在复平面Z上有若干(非可去)奇点z1, z2,…, zk，且0≤|z1|<|z2|<…|zk|，则f(z)可以在若干圆环域
上写成不同的Laurent级数。反之，对于一给定的Laurent级数，若它收敛，其收敛域必为一圆环域(如果将圆也视为特殊的圆环的话)。这直观地说明了收敛半径这个名字的由来。
奇点也是很重要的概念。奇点可以分成三类。第一类是可去奇点，若亚纯函数f(z)在奇点z0处的Laurent级数展开式中，负幂次项系数都为0，那么奇点z0就是可去奇点。第二类是m级极点，若亚纯函数f(z)在奇点z0处的Laurent级数展开式中，a-m不为0，且a-(m+k)全为0(k=1,2,…)，那么奇点z0就是m级极点。第三类是本性奇点，若亚纯函数f(z)在奇点z0处的Laurent级数展开式中，负幂次项有无穷多项，那么奇点z0就是本性奇点。
设函数f(z)有一奇点z0，称函数f(z)在奇点z0处的Laurent级数展开式中的a-1为z0处的留数，记为Res[f(z), z0]。留数当然可以根据Laurent级数展开式来计算，不过，对于m级极点，我们还有计算公式
证明 写出函数f(z)在m级极点z0处的Laurent级数
于是
求m-1阶导数
两侧取极限z→z0，再除以(m-1)!得证。
另外，可去奇点处的留数据定义显然是0。
最后是计算复函数闭路积分的重要定理——留数基本定理。设亚纯函数f(z)在简单正向闭路C上处处解析，C包围的区域内只有有限个奇点z1, z2,…, zn，则有
这个定理的证明涉及到一个复变函数中相当重要的结论和思想，因此我在最后花费一些篇幅简要证明了该定理。当然证明过程不必看懂，这不影响后面我们玩Laurent级数。
以上是所有我们接下来要用到的关于复变函数的知识，下面我们正式开始玩Laurent级数。
1.几何级数
证明 |z|<1的情况可由实函数的情形推广得到。
对|z|<1的情况作变换，z换成1/z
而左侧
于是
两边取负即得级数(1)。
类似可证
现在我们可以说明级数(4)的Taylor级数收敛半径为1的原因了。表面上看起来，在实数域内，函数1/(1+x²)并没有奇点。可是在复数域内，显然它有两个奇点z=i和z=-i。于是根据我们前面提到的关于Laurent级数收敛域的定理，函数1/(1+x²)应有两个收敛域，|z|<1和|z|>1。在|z|<1的情况下，Laurent级数退化为Taylor级数，就得到了其Taylor级数收敛半径为1的结果了。
2.三个特殊的Newton二项级数
提示：采用类似级数(1)的变换手法可证。
需要指出的是，复函数开方运算与实函数的算术方根不同，前者涉及到多值问题，因此级数(5)~(7)的写法并不严谨。不过由于是开平方，只需在需要的时候整体增加一个负号就可以了，无伤大雅。
3.对数级数
首先有必要说明一下复数域内对数的运算规则。由欧拉公式
令θ=α+2kπ，有
这说明复数域内指数函数具有复周期2πi，这样一来，仍规定对数运算是指数运算的逆运算，就会有
很明显它是多值的。于是我们规定对数函数的主值为
这样虚部的取值范围就限定在了-π到π之间，它就是单值的了。
为了方便，后面有时将ln(z)也视为Laurent级数中的一项，而不规范地将它移到等号另一侧。
提示：对级数(2)逐项积分得级数(8)。注意1/z的原函数是ln(Cz)，想想如何确定C=1。
4.指数级数
证明 设
应用一个重要的结论(证明附在最后)
其中C为包围原点的正向(逆时针)简单闭曲线。可知
于是
其中z1, z2,…,zp为C包围区域内的奇点。
考虑函数z/(eᙆ-1)的奇点，可从eᙆ-1的零点出发。解eᙆ-1=0，得z=2kπi(k=0, ±1, ±2,…)。于是z/(eᙆ-1)的全部奇点就是z=2kπi，并且都是1级极点(想一想，为什么)。所以，函数z/(eᙆ-1)的Taylor级数收敛半径为2π，在不同的区域2kπ<|z|<2(k+1)π(k=0, 1, 2,…)上可展成不同的Laurent级数。
由于eᙆ的任意阶导数仍为eᙆ，因此eᙆ在复平面上任一点z0处的Taylor展开为
然后考虑函数z/(eᙆ-1)在区域2kπ<|z|<2(k+1)π(k=0, 1, 2,…)上的Laurent级数的各项系数
第一项实际上就是其Taylor级数的各项系数。而后一项中
于是除了a1z=-z/2，其余各项可以写成
这就是级数(10)中的各项系数。
5.三角级数
采用证明实数域内的三角级数的方法和指数级数(10)的证法可以证明三角级数(11)~(16)。
6.双曲级数
仍利用三角函数与双曲函数间的关系，容易写出双曲级数(17)~(22)。
7.反双曲级数
在复数域内，因为反双曲函数可用对数来表示，因而反双曲级数是多值的，需要我们取其主值。这时要注意取主值导致的常数项的增减和正负号的取舍。
反双曲函数的导数的Laurent级数是容易写的，只需要对其导数的Laurent级数逐项积分，即可得反双曲级数(23)~(26)。
由于arsech(z)=arcosh(1/z), arcsch(z)=arsinh(1/z)，所以可以直接写出反双曲级数(27)(28)。
如果限定在实数域内考察这些函数的渐进级数，需要注意可能存在因取主值不恰当而导致的常数和正负号增减问题。如：
8.反三角级数
类似的，反三角函数它也是多值的，也需要我们取其主值。
反三角函数同样可以用对数来表示
于是可推导反双曲函数和反三角函数的关系
进而写出反三角级数(29)~(31)。
再根据反三角函数之间的关系arccot(z)=arctan(1/z), arcsec(z)=arccos(1/z), arccsc(z)=arcsin(1/z)，可写出级数(32)~(34)。
如果限定在实数域内考察这些函数的渐进级数，同样需要注意可能存在因取主值不恰当而导致的常数和正负号增减问题。如：
实际上，观众同学可以利用手里的软件画出来这些函数曲线，这样能够更加直观地理解级数收敛的含义。
附两个证明：
1、重要引理：
其中C为包围原点的正向(逆时针)简单闭曲线。
证明 若n=0,1,2,…，那么被积函数就是复平面上的解析函数，于是结果为0。
若n=-1,-2,…，我们先将积分路线C做个变形
取一个圆E: |z|=r，且圆E在曲线C包围的范围之内。再如图任取两条曲线连接曲线C和圆E。这样就出现了两个新的简单正向闭路，把图中的上半闭路记为C1，下半闭路记为C2。这样就有C1+C2=C+E-，其中E-为E的负向，等价于C=C1+C2+E。而函数zⁿ在除原点外处处解析，于是其对闭路C1, C2的积分结果都是0，就有
这个定理可推广到包含有限多个奇点的情况，叫做闭路变形定理。就是说，在解析区域内，闭路积分路径可以任意改变。
设z=re^(iθ)，于是
若n≠-1，则
若n=1，则
引理证完。
2、留数基本定理：设亚纯函数f(z)在简单正向闭路C上处处解析，C包围的区域内只有有限个奇点z1, z2,…, zn，则有
证明 对简单正向闭路C做亚纯函数f(z)的积分，应用刚才证出的引理有
其中Ck为围绕奇点zk邻域的简单正向闭路。定理证完。
