【乐正垂星】挂谷问题，但是不炸厕所

感觉up讲得有点散（自己感觉），我整理一下吧（我的应该更烂

0.前言

问题由挂谷宗一 (かけやそういちSoichi Kakeya) 提出：一个线段，旋转180°，他划过的面积最小是多少？

定义：一个线段，旋转180°，他划过的面积被称为 挂谷集。在挂谷集内任取两个点，连一条线段，线段始终在集合里面的挂谷集，被称为 凸挂谷集（凸集）

凸集有个很好用的性质：过凸集上任一点，我们总能做出一条直线，使得凸集在直线的同一侧。

1.最小的凸挂谷集

是正三角形，来证明吧

我们设那条旋转的线段的长度为1

我们首先要随便画出一个凸的轮廓作为凸集，然后把他的内切圆搞出来。凸集的内切圆可以分为两种：有2个切点的、有3个切点的。

1.1.有2个切点的不是最小凸集

如果这2个切点是内切圆的直径的端点，那么这个内切圆是最大的。

线段在里面旋转，肯定要经过圆的直径，那么圆的直径肯定≥1。

比较圆和莱洛三角形（莱洛三角形有3个切点），发现圆的面积更大，那么圆肯定不是最小的凸集了，所以有2个切点的不是最小凸集。

1.2.有3个切点的凸集

如果这3个切点不在同一个半圆上，那么这个内切圆是最大的。

过3个切点作切线，能得到有内切圆的三角形，设内切圆半径为r

线段在凸集中旋转，肯定要转到和BC垂直的方向，因为线段完全在三角形内，所以BC上的高≥1。

作AH⊥BC，设△ABC的面积为S。

S = 0.5×BC·AH

变形得BC = 2S÷AH

∵AH≥1

∴BC≤2S

同理得：AB≤2S AC≤2S

我们设圆的3个切点分别为D,E,F，我们来算△ABC的面积。

S△ABC=S△BOC+S△COA+S△AOB

=0.5r×(BC+CA+AB)

把之前的BC≤2S AB≤2S AC≤2S代入

我们可以得到：r ≥ 1/3

连接OD, OE, OF，分别反向延长并分别交挂谷集边缘于X, Y, Z

过X, Y, Z分别作切线，围成的区域在凸集内，这个区域的面积，是随半径的增加而增加的。

当半径取最小值 1/3 时，他正好是正三角形。

也就是说，正三角形的面积，是所有凸集中最小的。

证明完毕。

弹幕里有人质疑这个“也就是说”，但别的笔记里也解释过了，那我也懒得详细讲了。

第二章和第三章懒得写了，之后有机会再写，你们凑合看吧（