【种花家务·代数】2-3-09用加减消元法解三元一次方程组『数理化自学丛书6677版』

2023-12-01 15:39 作者:山嵓 0人读过 | 我要投稿

【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第三章一次方程组

§3-9用加减消元法解三元一次方程组

【01】用加减消元法解三元一次方程组的方法，和解二元一次方程组的方法一样，所不同的，只是先消去一个未知数，使三元一次方程组变成二元一次方程组。现在看下面的例题。

例1.解方程组：

$%5Csmall%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D3x%2B2y%2Bz%3D14%2C%26(1)%5C%5Cx%2By%2Bz%3D10%2C%26(2)%5C%5C2x%2B3y-z%3D1.%26(3)%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$

【分析】先消去 z，得出只含有 x，y 的二元一次方程组。因为(1)和(3)以及(2)和(3)中 z 的系数都分别是相反的数＋1 和－1，所以只要把(1)和(3)相加，(2)和(3)相加，就可以消去 z 。

【解】

(1)＋(3)：5x＋5y＝15，就是 x＋y＝3……(4)

(2)＋(3)：3x＋4y＝11……(5)

解(4)和(5)组成的二元一次方程组，得 $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D1%2C%5C%5Cy%3D2.%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$

以 x＝1，y＝2 代入(2)，得 1＋2＋z＝10，∴ z＝7 。

所以原方程组的解是 $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D1%2C%5C%5Cy-2%2C%5C%5Cz%3D7.%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$ 检验从略。

【说明1】要消去一个未知数，可以利用已知三个方程中的任意两个，只要选择运算比较简便的。本题中，如果消去 x 或者 y，显然就比较麻烦。

【说明2】在解方程过程中，如果方程的各项系数有公约数时，可以约简，免得运算复杂。如本题中，5x＋5y＝15，就应该约简成 x＋y＝3 。

【说明3】求得两个未知数的值后，可以把这两个未知数的值代入已知三个方程中的任意一个，只要选择系数比较简单的，使计算简便。如本题中，以 x＝1，y＝2 代入(1)，那末3＋4＋z＝14，同样可以得出 z＝7 。

例2.解方程组：

$%0A%5Csmall%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7D%262x%2B6y%2B3z%3D6%2C%26%5Ctext%7B(1)%7D%5C%5C%263x%2B15y%2B7z%3D6%2C%26%5Ctext%7B(2)%7D%20%5C%5C%264x-9y%2B4z%3D9.%26%20%5Ctext%7B(3)%7D%20%20%5Cend%7Baligned%7D%5Cright.%5Cright.%0A$

【解】先消去 x 。

解(4)和(5)组成的二元一次方程组，得 $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dy%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7D%2C%5C%5Cz%3D-2.%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$

以 y＝1/3，x＝－2 代入(1)，得 2x＋2－6＝6，∴ x＝5 。

所以原方程组的解是 $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D5%2C%5C%5Cy%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7D%2C%5C%5Cz%3D-2%2C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$ 检验从略。

例3.解方程组：

$%5Csmall%5Cbegin%7Bcases%7Dx%2By%3D20%2C%26%26(1)%5C%5Cy%2Bz%3D19%2C%26%26(2)%5C%5Cx%2Bz%3D21.%26%26(3)%5Cend%7Bcases%7D$

【分析】这个题目，用代入法或者加减法都可以解。现在介绍另一种解法。

【解】因为原方程组里 x，y，z 的系数都相同，

所以(1)＋(2)＋(3)：2(x＋y＋z)＝60，∴ x＋y＋z＝30……(4)

(4)－(1)：z＝10 。

(4)－(2)：x＝11 。

(4)－(3)：y＝9 。

所以原方程组的解是 $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D11%2C%5C%5Cy%3D9%2C%5C%5Cz%3D10.%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$ 检验从略。

习题3-9

用加减法解下列各方程组：

$%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%261.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%2B2y%2B3z%3D11%2C%5C%5Cx-y%2B4z%3D10%2C%5C%5Cx%2B3y%2B2z%3D2%2C%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%262.%5Cbegin%7Bcases%7D7x%2B6y%2B7x%3D100%2C%5C%5Cx-2y%2Bz%3D0%2C%5C%5C3x%2By-2z%3D0%2C%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%263.%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac%7Bx%7D%7B2%7D%2B%5Cdfrac%7By%7D%7B3%7D-z%3D4%2C%5C%5C%5Cdfrac%7Bx%7D%7B3%7D-%5Cdfrac%7By%7D%7B2%7D%2B%5Cdfrac%7Bx%7D%7B2%7D%3D3%2C%5C%5C%5Cdfrac%7Bx%7D%7B2%7D-%5Cdfrac%7By%7D%7B3%7D-%5Cdfrac%7Bx%7D%7B4%7D%3D3%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%264.%5Cbegin%7Bcases%7D2x-7y%3D-10%2C%5C%5C9y%2B4z%3D18%2C%5C%5C11x%2B8z%3D-19.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%265.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%2By%3D27%2C%5C%5Cy%2Bz%3D33%2C%5C%5Cx%2Bz%3D30.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%266.%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac%7Bx%7D%7B7%7D%3D%5Cdfrac%7By%7D%7B10%7D%3D%5Cdfrac%7Bz%7D%7B5%7D%2C%5C%5C2x%2B3y%3D44.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%267.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%2By%2Bz%2Bu%3D11%2C%5C%5Cx%2B2y%2B3z%2B4u%3D34%2C%5C%5C2x%2B3y%2B4z%2Bu%3D25%2C%5C%5C3x%2B4y%2B2z%2Bu%3D22.%5Cend%7Bcases%7D%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

[提示：第6题，可以把第一个方程写成两个二元一次方程。第7题，先消去其中一个未知数，得出一个三元一次方程组]

【答案】

$%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%261.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D-41%2C%5C%5Cy%3D5%2C%5C%5Cz%3D14%3B%5Cend%7Bcases%7D2.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D3%2C%5C%5Cy%3D5%2C%5C%5Cz%3D7%3B%5Cend%7Bcases%7D3.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D12%2C%5C%5Cy%3D6%2C%5C%5Cz%3D4%3B%5Cend%7Bcases%7D4.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D-5%2C%5C%5Cy%3D0%2C%5C%5Cx%3D4%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%3B%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%265.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D12%2C%5C%5Cy%3D15%2C%5C%5Cz%3D18%3B%5Cend%7Bcases%7D6.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D7%2C%5C%5Cy%3D10%2C%5C%5Cz%3D5%3B%5Cend%7Bcases%7D7.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D1%2C%5C%5Cy%3D2%2C%5C%5Cz%3D3%2C%5C%5Cu%3D5.%5Cend%7Bcases%7D%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

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习题3-9

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