【数学基础140】常微分方程：史济怀老师视频微分方程相关内容总结（九）

史济怀老师视频课微分方程部分——

&3.二阶线性微分方程的一般理论

&3.1二阶齐次 线性方程解的结构

定义：两个函数y1（x），y2（x）线性相关，即在（a，b）上的2个函数，如果存在不全为0的c1，c2，使得c1y1（x）+c2y2（x）=0，x属于（a，b）就称y1（x），y2（x）在（a，b）上线性相关，否则，称为线性无关的。

推论：两个函数线性相关，则一个函数是另一个函数的常数倍。

判别（Wronsky行列式）：如果两个函数y1（x），y2（x）在（a，b）上线性相关，则它们满足行列式

，反之，不成立。

证明：

（正向成立）——

1. 如果两个函数y1（x），y2（x）在（a，b）上线性相关，则存在常数λ，使得

   y1（x）=λy2（x）；

2. 左右求导：[y1（x）]'=λ[y2（x）]'；

3. 由1、2得：y1（x）/[y1（x）]'=y2（x）/[y2（x）]'，即

   y1（x）[y2（x）]'-y2（x）/[y1（x）]'=0，行列式得证。

（反向不成立）——

1. 反例在x∈[0，2]，

1. 当x∈[0，1]，y1（x）=（1-x）^2，当x∈(1，2]，y1（x）=0；

2. 当x∈[0，1]，y2（x）=0，当x∈(1，2]，y2（x）=（1-x）^2；

3. 易证，y1（x），y2（x）满足Wronsky行列式；

2. 假设y1（x），y2（x）线性相关，则存在不全为0的c1，c2，使得c1y1（x）+c2y2=0；

3. x∈[0，1]，y2（x）=0，解得c1=0；

4. x∈(1，2]，y1（x）=0，解得c2=0；

5. c1，c2，都为0，y1（x），y2（x）线性无关关，