高中导数——不等式的类型

例一(易) 

已知函数.

(1).若的最小值为,求的值；

(2).若，证明：函数存在两个零点,且.

本题的关键点在于尝试去找，并且发现之间的关系。

这道题的基础是 

课标全国II文 2019.21

 已知函数.证明:

 (1)存在唯一的极值点

 (2)有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数

解：

(1) 求导，得在单调递增(增加增)

故 唯一零点使得

为唯一的极值点。

(2)由(1)知 在单减，单增

故 唯一零点使得

故 唯一零点使得

由于,且零点在是唯一的

故.

1,证明零点存在时需要严格套用零点存在定理。

零点存在定理

设函数在闭区间上连续，且,则在开区间上存在零点。

零点存在定理加强条件 

由于零点存在定理不能说明零点的个数，只能证明零点的存在性。而一般题目会要求零点的数目，因此需要使用零点存在定理加强条件。

(1)，该区间$(a,b)$函数单调，单增或者单减。

(2)，可以找到两个具体的函数值符号相反。

证明该区间内存在唯一的零点。

并且这类题目为了保证严谨性，需要找到切实的两个函数值异号才可以说明，这也是难点。

2，找到两个异号的函数值

极值点和零点本质上都是零点的问题，只不过针对的对象是导函数和函数。

本题好就好在函数里没有未知的参数，因此所有函数值都可以具体地表示出来。

这类题目的关键在于，把握表达式中最复杂的部分作为零点结构的一个主要考虑因素。

因此，该表达式中的关键在于对数函数，这也决定对应的了我们猜测的零点两侧的函数值对应的自变量(以后我们简称为  零点两侧变量)的结构应该是的形式，可以从1开始猜。

尽管不能使用两侧的极限异号说明零点唯一存在（理论可以，做题不行），但是极限的趋向为我们猜测零点两侧变量提供了重要的判断方向

例如本题，单调性分析后可以明白，需要在两个单调性段内分别找，趋于零处，趋于无穷处是关键要找这附近的函数值。

在趋于零时，使得函数变的更负的原因，动力是，因此我们不断地取趋于0的e指数，使得负的趋势大于另外的函数部分。

因为本题都是具体函数，不涉及未知参数，因此比较容易找到点。试几个，不断靠近零即可。

而趋于无穷时，主要影响因素是x超过了lnx，因此不断带入大的e指数幂实验。

第一次写有点累，第一节先到这里，后续再更，希望大家多多支持。