【数学基础32】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）
预备知识：
数列lim sin an/an=1，如果lim an=0；
定比分点：在线段P1P2上求一点P，使得由P分成的两个有向线段P1P与PP2的量的比为定数λ（λ不为-1），即P1P/PP2=λ，则P为线段P1P2以λ为定比的分点，且OP=（OP1+λOP2）/（1+λ）——定比分点公式。
矩阵乘法运算律——
a.结合律：（AB）C=A（BC）
b.左分配律：A（B+C）=AB+AC
c.右分配律：（B+C）D=BD+CD
d.若A是n级矩阵，单位矩阵为E，则有：AE=EA=A
e.矩阵乘法与数量乘法满足：k（AB）=（kA）B=A（kB）
f.可逆方阵：设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=E，则称B为A的逆方阵，而称A为可逆方阵。
矩阵A可逆的充要条件：|A|不为0——|A|为矩阵A对应的行列式。
矩阵对应行列式满足：|AB|=|A||B|；
设A与B都是数域K上的n级矩阵，如果AB=E，那么A与B都是可逆矩阵，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。
A的伴随矩阵A*满足：A*=|A|A^（-1）
E（i，j）为单位矩阵i，j行对调——
方阵A可逆，A对调i，j行成B矩阵：B=E（i，j）A
方阵A可逆，A对调i，j列成B矩阵：B=AE（i，j）
矩阵的转置：把n级矩阵A的行与列互换得到的矩阵称为A的转置，记作A'，|A'|=|A|。
定义：设A为方阵，若A'=A，则称A为对称矩阵，若A'=-A，则称A为反对称矩阵。
定义：如果AB=BA，则称A与B可交换。
矩阵转置运算律——
（A+B）'=A'+B'
（kA）'=kA'
（AB）'=B'A'
参考资料：
《数学分析习题演练》（周民强 编著）
《空间解析几何》（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）
《高等代数——大学高等代数课程创新教材》（丘维声 著）
数学分析——
例题（来自《数学分析习题演练（周民强 编著）》）——
试求下述数列{an}的敛散性：an=4^n（1-bn）（bn+1=[（1+bn）/2]^（1/2），-1<b1<1）.
解：
-1<b1<1，由归纳法：假设-1<bn<1，0<1+bn<2，0<[（1+bn）/2]^（1/2）<1，即对于任意n，-1<bn<1；
令b1=cos θ，则b2=[（1+cos θ）/2]^（1/2）=cos θ/2，……，bn=cos θ/2^（n-1）；
an
=4^n（1-bn）
=4^n[1-cos θ/2^（n-1）]
=4^n[1-cos θ/2^（n-1）][1+cos θ/2^（n-1）]/[1+cos θ/2^（n-1）]
=4^n{1-[cos θ/2^（n-1）]^2}/[1+cos θ/2^（n-1）]
=4^n[sin θ/2^（n-1）]^2/2（cos θ/2^n）^2
=2^（2n-1）[sin θ/2^（n-1）]^2/（cos θ/2^n）^2
lim an
=lim 2^（2n-1）[sin θ/2^（n-1）]^2/（cos θ/2^n）^2
=lim{[sin θ/2^（n-1）]/[θ/2^（n-1）]}^2*lim （2θ^2）/（cos θ/2^n）^2
=lim（2θ^2）/（cosθ/2^n）^2
=2θ^2
=2arccos b1.
解析几何——
例题（来自《空间解析几何（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）》）——
设三个非零向量a，b，c等长，且两两互相垂直，求证a+b+c与a，b，c所夹之角相等。
解：
三个非零向量a，b，c等长，且两两互相垂直，即|a|=|b|=|c|，ab=bc=ca=0；
（a+b+c）a=aa+ab+ac=a^2，同理，（a+b+c）b=b^2，（a+b+c）c=c^2；
|a+b+c|
=[（a+b+c）^2]^（1/2）
=[（a+b+c）a+（a+b+c）b+（a+b+c）c]^（1/2）
=（a^2+b^2+c^2）^（1/2）
=（3|a|^2）^（1/2）
=3^（1/2）|a|；
cos∠（a+b+c，a）
=（a+b+c）a/|a+b+c||a|
=a^2/[3^（1/2）|a||a|]
=3^（-1/2），
同理，cos∠（a+b+c，b）=3^（-1/2），cos∠（a+b+c，c）=3^（-1/2），
所以a+b+c与a，b，c所夹之角相等。
高等代数——
例题（来自《高等代数——大学高等代数课程创新教材（丘维声 著）》）——
证明：设A是n级矩阵，如果AA'=E，那么|A|=1或|A|=-1。
证：
AA'=E，则|AA'|=|E|，则|A||A'|=1；
|A|=|A'|，则|A|^2=1，即|A|=1或|A|=-1。
到这里！
