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A-0-4微分方程(2/2)

2023-08-27 15:00 作者:夏莉家的鲁鲁 0人读过 | 我要投稿

0.4.5 可降阶的二阶微分方程

$%5Cdfrac%7Bd%5E2y%7D%7Bdx%5E2%7D%3Df(x)$

令 $u%3D%5Cdfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D$ ，方程转化为

$%5Cdfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D%3Df(x)$

先求出 $u$ ，再代入 $u%3D%5Cdfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D$ 求得 $y$ .

$%5Cdfrac%7Bd%5E2y%7D%7Bdx%5E2%7D%3Df(x%2C%5Cdfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D)$

令 $u%3D%5Cdfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D$ ，方程转化为一阶微分方程

$%5Cdfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D%3Df(x%2Cu)$

后续过程同上。

$%5Cdfrac%7Bd%5E2y%7D%7Bdx%5E2%7D%3Df(y%2C%5Cdfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D)$

令 $u%3D%5Cdfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D$ ，则

$%5Cdfrac%7Bd%5E2y%7D%7Bdx%5E2%7D%3D%5Cdfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D%3D%5Cdfrac%7Bdu%7D%7Bdy%7D%5Cdfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D%5Cdfrac%7Bdu%7D%7Bdy%7Du$

原式变为一阶微分方程

$u%5Cdfrac%7Bdu%7D%7Bdy%7D%3Df(y%2Cu)$

后续过程同上。

0.4.6 常系数齐次二阶线性微分方程

形如

$%5Cdfrac%7Bd%5E2y%7D%7Bdx%5E2%7D%2Bp%5Cdfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%2Bqy%3D0$

的微分方程，称为常系数齐次二阶线性微分方程，常系数指的各项系数为常数，齐次指的是等号右边为0。

方程对应的特征方程为

$r%5E2%2Bpr%2Bq%3D0$

对应两根分别为 $r_1$ , $r_2$ .

两个不等实根 $r_1$ , $r_2$ ，

$y%3DC_1e%5E%7Br_1x%7D%2BC_2e%5E%7Br_2x%7D$
两个相等实根 $r_1%3Dr_2$ ，

$y%3D(C_1%2BC_2x)e%5E%7Br_1x%7D$
一对共轭复根 $r_%7B1%2C2%7D%3D%5Calpha%5Cpm%20i%5Cbeta$ ，

$y%3De%5E%7B%5Calpha%20x%7D(C_1%5Ccos%5Cbeta%20x%2BC_2%5Csin%5Cbeta%20x)$

水平地面上一质量为m的物体与弹簧相连，受到弹簧恢复力，受到地面阻力 $f%3D-2nmv$ ，其中 $k$ , $n$ 为常数，初始速度 $v_0$ ，初始位置 $x_0$ ，求 $x(t)$ .

由牛顿第二定律：

$-mk%5E2x-2nm%5Cdfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D%3Dm%5Cdfrac%7Bd%5E2x%7D%7Bdt%5E2%7D$

化简得

$%5Cdfrac%7Bd%5E2x%7D%7Bdt%5E2%7D%2B2n%5Cdfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D%2Bk%5E2x%3D0$

对应特征方程的根

$r_%7B1%2C2%7D%3D-n%5Cpm%5Csqrt%7Bn%5E2-k%5E2%7D$

1.阻尼较小时： $n%3Ck$

$r%3D-n%5Cpm%20i%5Comega(%5Comega%3D%5Csqrt%7Bk%5E2-n%5E2%7D)$

$x%3De%5E%7B-nt%7D(C_1%5Ccos%5Comega%20t%2BC_2%5Csin%5Comega%20t)$

代入初始值，得

$x%3De%5E%7B-nx%7D(x_0%5Ccos%5Comega%20x%2B%5Cdfrac%7Bv_0%2Bnx_0%7D%7B%5Comega%7D%5Csin%5Comega%20x)$

令

$x_0%3DA%5Csin%5Cvarphi$ ， $%5Cdfrac%7Bv_0%2Bnx_0%7D%7B%5Comega%7D%3DA%5Ccos%5Cvarphi$

则

$x%3DAe%5E%7B-nt%7D%5Csin(%5Comega%20t%2B%5Cvarphi)$

函数图像如图所示，对应阻尼振荡。

当 $n%3D0$ 时，两根实部为 $0$ ， $x%3DA(%5Csin%5Comega%20t%2B%5Cvarphi)$ ，对应简谐振荡（谐振）。

2.阻尼较大时： $n%3Ek$

$x%3DC_1e%5E%7B-(n-%5Csqrt%7Bn%5E2-k%5E2%7D)t%7D%2BC_2e%5E%7B-(n%2B%5Csqrt%7Bn%5E2-k%5E2%7D)t%7D$

对应图像：

标签：高中物理竞赛

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