数学物理方法公式（4）：留数定理及其应用

2023-03-20 13:35 作者:打电动的阿伟嘻嘻嘻 0人读过 | 我要投稿

留数的定义：其中 $%5Cgamma$ 是内含奇点 $z_0$ 的闭曲线

（1）： $z_0%5Cin%5Cmathbb%7BC%7D$ 是 $f$ 的一个孤立奇点, $%7B%5Crm%20Res%7D(f%2Cz_0)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%20i%7D%5Cint_%7B%5Cgamma%7Df(z)dz.$

（2）： $%5Cinfty$ 是 $f$ 的一个孤立奇点, $%7B%5Crm%20Res%7D(f%2C%5Cinfty)%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%20i%7D%5Cint_%7B%5Cgamma%7Df(z)dz.$

定理一： $f(z)$ 作 Lanurent 展开 $f(z)%3D%5Csum_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7Dc_n(z-z_0)%5En%2C%5C%20$

$%7B%5Crm%20Res%7D(f%2Cz_0)%3Dc_%7B-1%7D%2C%5C%20%7B%5Crm%20Res%7D(f%2Cz_0)%3D-c_%7B-1%7D.$

定理二： $%5C%7Bz_1%2C%5C%20z_2%2C%5C%20%5Ccdots%2C%5C%20z_n%2C%5C%20%5Cinfty%20%5C%7D$ 各不相同且皆为 $f$ 的孤立奇点, 其中 $%5Cgamma$ 是内含奇点 $%5C%7Bz_1%2C%5C%20z_2%2C%5C%20%5Ccdots%2C%5C%20z_n%20%5C%7D$ 的闭曲线,

$%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%7B%5Crm%20Res%7D(f%2Cz_k)%2B%7B%5Crm%20Res%7D(f%2C%5Cinfty)%3D0%2C%5C%20%5Cint_%7B%5Cgamma%7Df(z)dz%3D2%5Cpi%20i%5Csum%5En_%7Bk%3D1%7D%7B%5Crm%20Res%7D(f%2Cz_k).$