数学公式测试

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【高中数学】抛物线的应用
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【题目】设曲线 \Gamma:x^2=2py\quad(p>0) ， D 是直线 l:y=-2p 上的任意一点，过 D 作 \Gamma 的切线，切点分别为 A 、 B . 记 O 为坐标原点

\\（1）（2）【略】

\\（3）设点 M 满足 \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} ，是否存在这样的点 D ，使得 M 关于直线 AB 的对称点 N 在\Gamma 上？若存在，求出 D 的坐标；若不存在，请说明理由.


\\【我的解答】

\\∵ y=\cfrac{x^2}{2p}\qquad y'=\cfrac{dy}{dx}=\cfrac{x}{p}

\\∴\left\{ \begin{array}{**lr**} y-y_A=\cfrac{x_A}{p}(x-x_A)\\ y-y_B=\cfrac{x_B}{p}(x-x_B) \end{array} \right.

\\不妨设D(a,-2p)

\\∴ \left\{ \begin{array}{**lr**} -2p-y_A=\cfrac{x_A}{p}(a-x_A)\\ -2p-y_B=\cfrac{x_B}{p}(a-x_B) \end{array} \right.

\\结合x^2=2py

\\化简得 l_{AB}:y=\cfrac{a}{p}x+2p

\\与x^2=2py 联立

\\得 x^2-2ax+4p=0

\\即 \left\{ \begin{array}{**lr**} x_A+x_B=2a\\ y_A+y_B=(\cfrac{a}{p}x_A+2p)+(\cfrac{a}{p}x_B+2p) =\cfrac{a}{p}(x_A+x_B)+4p=\cfrac{2a^2}{p}+4p \end{array} \right.

\\∵ \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}

\\∴ M(x_A+x_B,y_A+y_B)

\\即 M(2a,\cfrac{2a^2}{p}+4p)

\\∵ k_{l_{AB}}=\cfrac{a}{p}\qquad l_{AB}\bot l_{MN}

\\∴ l_{MN}:y=-\cfrac{p}{a}(x-2a)+\cfrac{a^2}{p}+4p

\\∵ M 、N 关于 AB 对称

\\∴ d_{M-AB}=d_{N-AB}

\\即 \lvert\cfrac{\cfrac{a}{p}2a-(\cfrac{2a^2}{p}+4p)+2p}{\sqrt{(\cfrac{a}{p})^2+(-1)^2}}\rvert=\lvert\cfrac{\cfrac{a}{p}x_N-y_N+2p}{\sqrt{(\cfrac{a}{p})^2+(-1)^2}}\rvert

\\∵ y_N=-\cfrac{p}{a}(x_N-2a)+\cfrac{a^2}{p}+4p

\\∴ 2p=\lvert\cfrac{a}{p}x_N+\cfrac{p}{a}(x_N-2a)-\cfrac{a^2}{p}-4p+2p\rvert

\\即 2p=\lvert\cfrac{a^2+p^2}{ap}x_N-\cfrac{a^2}{p}-4p\rvert

\\x_N=\cfrac{2a(a^2+3p^2)}{a^2+p^2}\qquad y_N=-\cfrac{4p^3}{a^2+p^2}+\cfrac{2a^2}{p}+4p

\\∵ \cfrac{x_N^2}{2p}=y_N

\\∴ \cfrac{1}{2p}(\cfrac{2a(a^2+3p^2)}{a^2+p^2})^2=-\cfrac{4p^3}{a^2+p^2}+\cfrac{2a^2}{p}+4p

\\∴ 2a^2(a^2+3p^2)^2=-4p^4(a^2+p^2)+2a^2(a^2+p^2)^2+4p^2(a^2+p^2)^2

\\∴ a^2p^2(3a^2+7p^2)=0

\\∵ p>0

\\∴ a=0

\\∴综上， D(0,-2p)

\end{array}