机械万年历的数学原理

2023-02-08 08:55 作者:shaleone 0人读过 | 我要投稿

话题：#数学# #万年历#

小石头/编

逢年过节，人们难免会送一些小礼物，这里面就有一种机械万年历，

虽然说是万年历，但实际上只有几十年，可即便如此，也是设计的非常精妙。

机械万年历是月历。传统的月历，是一张以星期为表头的表格，日期被填入的 5×7 格子中，

这里，不同月份之间，表头是固定的，变化的是日期位置。日期位置的变化不利于机械实现，于是，我们让日期位置不变，反过来，调整表头中的星期，得到，

观察发现：

若以大月31天为准（多出来的做冗余量），则不同月份的日期是同一个4×7格子；
若将表头中星期向两边无限延伸，则不同月份得到的是同一个无线列；

这样一来，不同月份之间，只是日期格子与星期列之间的相对位置不同而已，接下来需要做的是确定这个 “定位”，也就是确定每月1日是星期几。

设 A 年的第一天是星期 a，即，

一月1日是星期 a；

然后，日期每增加7天，星期又回到 a，也就是 a + 7 ≡ a (mod 7)，而一月是 31天，于是可计算出，

二月1日是星期 a + (31 mod 7) = a+3 (mod 7)；

接着，可依次算出，

三月1日是星期 a+3 + (28 mod 7) = a+3 (mod 7)；
四月1日是星期 a+3 + (31 mod 7) = a+6 (mod 7)；
五月1日是星期 a+6 + (30 mod 7) = a+8 ≡ a+1 (mod 7)；
六月1日是星期 a+1 + (31 mod 7) = a+4 (mod 7)；
七月1日是星期 a+4 + (30 mod 7) = a+6 (mod 7)；
八月1日是星期 a+6 + (31 mod 7) = a+9 ≡ a+2 (mod 7)；
九月1日是星期 a+2 + (31 mod 7) = a+5 (mod 7)；
十月1日是星期 a+5 + (30 mod 7) = a+7 ≡ a (mod 7)；
十一月1日是星期 a + (31 mod 7) = a+3 (mod 7)；
十二月1日是星期 a+3 + (30 mod 7) = a+5 (mod 7)；

这样就得到了一张表：

这里需要注意，以上考虑的是平年的情况，若 A 是闰年，则二月会多1天，这导致上表三到十二月都要向后移动一格，这很不划算，于是，可以考虑保持三到十二月不变让一二月向前移动一格，即，

闰年一月1日是星期 a - 1 ≡ a + 6 (mod 7)；
闰年二月1日是星期 a+3 - 1 = a + 2 (mod 7)；

因为，只有两个月发生改变，没必要新做一张新表，可以用记号标出加入上表中，于是得到：

至此，我们就确定了任何一年内，每个月1日的星期定位，月份表内各月的定位固定，不同的是月份表在年份列上的定位。

接下来，我们需要确定每一年第1天的星期，

若 A 是平年，则有 365天，由 356 mod 7 = 1，知道 A+1年的第1天是星期 a+1；
若 A 是润年，则多 1天，因此 A+1年的第1天是星期 a+2；

于是我们得到：

通过这个表，我们可以将定位年份列的月份表就和定位星期列的日期表关联起来，以 2023年为准，有：

我们发现月份表每月关于年的定位和对应月日期表关于星期列的定位刚好相反，于是可以考虑中心对称圆盘将月份表和日期表整合在一起，得到：

另外，无限星期列可以通过圆环来实现，然后圆环和圆盘同圆心，以方便定位。为了让星期首位相连，圆环分割数必须是 7 的倍数，为了能能容纳下月份表和日期表，圆盘分割数必须大于 7 + 7 = 14，因为要对齐定位，圆环和圆盘分割数必须相同，这里选择 4×7 = 28 的分割方案。

我们的万年历，从 2023年开始，由于 2023年第一天是星期日，将 2023年与月份表一月列对齐，将星期日与日期表 1日列对齐，然后按照逆时针依次填满星期环列，就得到上图。这样，当对齐月份和年份，日期表刚好对于正确的星期。

然后，需要将 2023 年之后的年份填上，由于星期时逆时针，故年份也需要按照逆时针排列，于是就得到上图。

当定位到闰年时，例如：2024年，

这时月份表使用的是润一月，于是修改年份位置，让年份对位「一月」列，这需要让年份位置从月表的 a 列变为 a+6列，即，顺时针挪6位，这距离不仅有点大，而且会和该位置的年份冲突，例如：对应 2024年调整后与 2041年冲突。考虑到 a+6 ≡ a-1 (mod 7) ，于是顺时针挪6位就等于逆时针挪1位，而刚好润年导致之后有一个空位！

按照这个分析，将所有闰年都逆时针挪1位，并标上闰年标志以和闰月匹配，这样就得到如下结果：