关于方向导数和梯度，一般教材都是如下推导的：

上述推导中，好像只是证明了梯度方向是存在的，但却并没有指出梯度方向到底是哪个方向。

参考图3，在空间曲面

上截取一条空间曲线，现在来讨论这条空间曲线的梯度方向。

在图3的基础上，通过空间曲线 f 作一个投影平面X,垂直于水平平面Y，得到一条交线OL。

下面证明空间曲线 f 的梯度方向就是OL的方向。

以op代替一小段曲线 f，曲线 f 与op都在投影平面X内，作

由于

表示的就是曲线 f 在垂直于水平平面Y这个方向上的高度变化，所以它就等于pr，则

再在图4的Y平面上任意作一条直线om,代表其它的方向向量，再作

则

由于oq>or，所以

这就证明了OL方向就是梯度方向。至于为什么要让

从图4可以清晰地看出这种关系：在Y平面上，oL是向量om的一个分量。

图4中oL与om之间的夹角，就是图2中梯度方向与其它方向直线之间的夹角