最速降线求法的简介

此篇文章主要科普下最速降线的求解方法。之所以说是科普是因为内容门槛有些高)有一半以上都是借助于《泛函分析》这本书的内容以及我查阅的诸多文献的，所以就当大部分是“复述”好了[doge]。(我花费了一上午才大致看明白“泛函”和“变分”的基本概念，看来探索真理任重道远呀)

如图，一小球(视为质点)由A点静止释放，沿一光滑路径运动至点C，不计一切阻力，则取何种路径时运动时间最短？

当路径y=y(x)改变时，对应的时间t也会改变，因此路径可以映射到时间上，换言之时间是关于路径的函数t=t(y)

以A为坐标原点，建立左手系（图如所示）

设路径所在曲线为y=y(x)

根据功能关系，有：

解得：

由得：

(ps:为弧微分，即微小的一段弧可近似用直线替代，用勾股定理求之)

取其在区间[x₁,x₂]上的积分得：

选取不同的y(曲线)，时间t也会不同

输入一个函数y，则输出一个时间t，这是一种由函数空间到数域的映射，称之为一种泛函

若我们需要找到一个y(曲线)，使得输出的时间t最小，也就是要找到这个泛函极值

求解该问题则需要运用变分法

由上式可知，T是关于x,y,y'的函数，即：

设y(曲线)取得关于T的泛函极小值(默认其一阶导存在)

我们对这一曲线附加一微小的扰动(且两个端点处微扰值为0，即定端变分)，则曲线形式发生轻微的改变使得T略有增大。当微扰→0时，总时间的改变→0，记作：

ps:符号δ和微分dx的d思想类似，但后者的微扰对应为一个数x，而前者的微扰对应为一族函数，因此为了区别此便将其记作δ

上式展开得：

则

取后两项积分得微扰的累计时间δT

考虑到端点处变分值为0，对上式第2项采用分部积分得：

∴

令δT→0，则可让T收敛于所设泛函极值

即

由于δy为任取的一阶微小量，则上述积分恒为0需满足括号内恒为0，即：

上式即著名的E-L方程(欧拉-拉格朗日方程)

43下面用E-L方程求解原题的最佳解泛函(即最速曲线)

据表达式可知，F是不含变量x的函数

则,由E-L方程可得，泛函T出现极值时，有：

(C为常数)

代入F表达式整理得：

∴

则

接下来就是求解微分方程了

分离变量得：

换元令，则

代入得：

即

即

两边积分可得：

质点在初始位置时，,θ=0

此时x=0,解得C=0

得轨迹参数方程：

(其中θ为参数)

此参数方程与摆线的参数方程相同，因此最速降线也是一条摆线

求出了该最佳泛函解，我们可以利用光学中的“光线传播时间最短”(费马原理)以及斯涅尔定律(光的折射定律)，通过取空介微元结合摆线的性质加以验证。由于篇幅原因，验证的解析这里就不多赘述了。

数学家们的游戏希望有朝一日眼前的你也能参与其中[doge]！