【种花家务·代数】2-3-03用代入消元法解二元一次方程组『数理化自学丛书6677版』

2023-11-27 14:01 作者:山嵓 0人读过 | 我要投稿

【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第三章一次方程组

§3-3用代入消元法解二元一次方程组

【01】我们来看下面的问题：两个数的和是 8，它们的差是 2，求这两个数。

【02】设两个数中较大的一个数是 x，较小的一个数是 y，就可以列出方程组：

$%5Csmall%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%2By-8%2C%26%26(1)%5C%5Cx-y%3D2.%26%26(2)%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$

【03】如果利用一元一次方程来解这个问题，可以得出下面的方程来：

【04】因为两数的和是 8，所以设较大的数是 x，那末较小的数就是 8－x 。又因两数的差是 2，所以可以列出一元一次方程 x－(8－x)＝2……(3) 。

【05】实际上，从上面的二元一次方程组的方程(1)，我们可以得到 y＝8－x 。因为上一节里我们说过，方程组中相同的字母所表示的是同一个未知数，所以在方程(1)和方程(2)中的 x 和 y 分别表示相同的未知数，因此可以把 8－x 代替方程(2)中的 y 。这样就得到了一元一次方程 x－(8－x)＝2 。这显然和方程(3)是一样的。

【06】解这个方程，得到 x＝5 。代入 y＝8－x，得到 y＝3 。∴ $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D5%2C%5C%5Cy%3D3%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$ 就是原二元一次方程组的解。

【07】这种解方程组的方法，叫做代入消元法，简称代入法。

例1.用代入法解方程组：

$%5Csmall%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%2B3y%3D5%2C%26%26(1)%5C%5C3x-6y%3D6.%26%26(2)%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$

【分析】这里，(1)中的 x 的系数是1，把 x 化成用 y 的代数式表示的式子比较简单。

【解】

从(1)，得 x＝5－3y……(3)

代入(2)，得 3(5－3y)－6y＝6 。

解这个方程，得－15y＝－9，

∴ y＝ $%5Cscriptsize%5Cfrac35$ 。

以 y＝ $%5Cscriptsize%5Cfrac35$ 代人(3)，得 x＝ $%5Cscriptsize3%5Cfrac15$ 。

【检验】把 x＝ $%5Cscriptsize3%5Cfrac15$ ，y＝ $%5Cscriptsize%5Cfrac35$

代入方程(1)： $%5Cscriptsize%5Ctext%7B%E5%B7%A6%E8%BE%B9%7D%3D3%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D%2B3%5Ctimes%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D%3D5%3D%5Ctext%7B%E5%8F%B3%E8%BE%B9%7D$ 。

代入方程(2)： $%5Cscriptsize%E5%B7%A6%E8%BE%B9%3D3%5Ctimes%5Cfrac%7B16%7D%7B5%7D-6%5Ctimes%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D%3D6%3D%5Ctext%7B%E5%8F%B3%E8%BE%B9%7D$ 。

所以原方程的解是 $%5Csmall%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%7Bx%3D3%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D%2C%7D%5C%5C%7By%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D.%7D%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$

【说明】用代入法解方程组时，从一个方程得出把一个未知数用另一个未知数的代数式表示的式子，必须把这个代数式代入另一个方程中去，不能代入原来那个方程中，例如在本题中，从方程(1)得到 x＝5－3y 后，必须把这个代数式代入方程(2)中。如果代入方程(1)，那末得到 0＝0，这样就不能达到求出 x，y 的值的目的。

例2.用代入法解方程组：

$%5Csmall%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D3x%2B4y%3D2%2C%26%26(1)%5C%5C2x-y%3D5.%26%26(2)%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$

【分析】这里，从(2)中把 y 化成用 x 的代数式表示的式子比较简单。

【解】

从(2)，得 y＝2x－5……(3)

以(3)代入(1)，得 3x＋4(2x－5)＝2 。

解这个方程，11x＝22，∴ x＝2 。

以 x＝2 代入(3)，得 y＝2 × 2－5＝－1 。

【检验】

把 x＝2，y＝－1

代入方程(1)：左边＝3 × 2＋4 × (－1)＝2＝右边。

代入方程(2)：左边＝2 × 2－(－1)＝5＝右边。

所以原方程组的解是 $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D2%2C%5C%5Cy%3D-1.%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$

【说明】用代入法解方程组时，要把一个方程里的一个未知数用另一个未知数的代数式来表示，为了计算简便，一般选用未知数的系数较简单的一个。在例1中，选用方程(1)，把 x 化成 y 的代数式，而在例2中，选用方程(2)，把 y 化成 x 的代数式。

【08】从上面两个例子可以看出，用代入法解二元一次方程组的一般步骤是：

（ⅰ）把一个方程里的一个未知数（例如 y）化成用另一个未知数（例如 x）的代数式来表示。

（ⅱ）把这个代数式代入另一个方程里，消去一个未知数（例如 y），得到另一个未知数（例如 x）的一个一元方程。

（ⅲ）解这个一元方程，求得一个未知数（例如 x）的值。

（ⅳ）把所求得的值代入第一步所得到的代数式里，求得另一个未知数（例如 y）的值。

（ⅴ）把所求得的两个未知数的值用 “{” 写在一起，就是原方程组的解。

【09】为了检查计算有没有错误，可以把所求得的两个未知数的值代入原方程组，进行检验。

例3.用代入法解方程组：

$%5Csmall%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D5x%2B2y%3D15%2C%26%26(1)%5C%5C8x%2B3y%2B1%3D0.%26%26(2)%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$

【解】

从(1)，得 $%5Cscriptsize%20y%3D%7B%5Cfrac%7B15-5x%7D%7B2%7D%7D.%5Cquad(3)$

以(3)代入(2)，得 $%5Cscriptsize8x%2B%5Cfrac%7B3%5Cleft(15-5x%5Cright)%7D%7B2%7D%2B1%3D0$ 。

解这个方程，得 x＝－47 。

以 x＝－47 代入(3)，得 y＝125 。

所以原方程组的解是 $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D-47%2C%5C%5Cy%3D125.%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$ 检验从略。

习题3-3

1、检验下列各题后面括号里的 x 和 y 的值是不是方程组的解：

$%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%26%5Cleft.(1)%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D3x%2B5y%3D19%2C%5C%5C4x-3y-6%3D0%3B%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%5Cright.%5Cquad%5Cquad%5Cbinom%7Bx%3D3%7D%7By%3D2%7D%5C%5C%0A%26%26%5Cleft.(2)%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D7x%3D2y-3%2C%5C%5C5x-6y-7%3D0.%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%5Cright.%5Cquad%5Cquad%5Cbinom%7Bx%3D-1%7D%7By%3D-2%7D%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

【是，是】

用代入法解下列各方程组(2~13)：

$%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%26%5Cleft.2.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%7By%3D3x%2C%7D%5C%5C%7B7x-2y%3D2.%7D%5C%5C%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%5Cright.%5C%5C%0A%26%263.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%7By%3Dx%2B3%2C%7D%5C%5C%7B7x%2B5y%3D6.%7D%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%5C%5C%0A%26%264.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D-2y%2C%5C%5C3x%2B4y%3D6%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%265.%5Cbegin%7Bcases%7Dy%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Dx%2C%5C%5C3x-4y%3D2.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%266.%5Cbegin%7Bcases%7Dx-2y%3D5%2C%5C%5C5x-3y%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%267.%5Cbegin%7Bcases%7D5x%2B3y%3D0%2C%5C%5C12x%2B7y%2B1%3D0.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%268.%5Cbegin%7Bcases%7D8x-12y%3D-40%2C%5C%5C6x%2B5y%3D12.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%269.%5Cbegin%7Bcases%7D3x-8y-3%3D0%2C%5C%5C5x%2B3y%3D%5Cfrac%7B11%7D%7B12%7D.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%2610.%5Cbegin%7Bcases%7D3x-y%3D5%2C%5C%5C5x%2B2y%3D25.2.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%2611.%5Cbegin%7Bcases%7D2y%2B3z%3D-4%2C%5C%5C6z%2B5y%2B7%3D0.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%2612.%5Cbegin%7Bcases%7Dv%3D2.6%2B9.8t%2C%5C%5C%5Cfrac%20v3-3t%3D1.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%2613.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D2(t-9)%2B3(t-5)%2C%5C%5Cx%3D%5Cfrac%7Bt%2B3%7D2-%5Cfrac%7Bt%2B2%7D3.%5Cend%7Bcases%7D%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

【答案】

$%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%262.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D2%2C%5C%5Cy%3D6%3B%5Cend%7Bcases%7D3.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D-%5Cdfrac%7B3%7D%7B4%7D%2C%5C%5Cy%3D2%5Cdfrac%7B1%7D%7B4%7D%3B%5Cend%7Bcases%7D4.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D6%2C%5C%5Cy%3D-3%3B%5Cend%7Bcases%7D5.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D6%2C%5C%5Cy%3D4%3B%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%266.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D-2%2C%5C%5Cy%3D-3%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%3B%5Cend%7Bcases%7D7.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D-3%2C%5C%5Cy%3D5%3B%5Cend%7Bcases%7D8.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%2C%5C%5Cy%3D3%3B%5Cend%7Bcases%7D9.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7D%2C%5C%5Cy%3D-%5Cdfrac%7B1%7D%7B4%7D%3B%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%2610.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D3%5Cdfrac%7B1%7D%7B5%7D%2C%5C%5Cy%3D4%5Cdfrac%7B3%7D%7B5%7D%3B%5Cend%7Bcases%7D11.%5Cbegin%7Bcases%7Dy%3D1%2C%5C%5Cz%3D-2%3B%5Cend%7Bcases%7D12.%5Cbegin%7Bcases%7Dv%3D7%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%2C%5C%5Ct%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%3B%5Cend%7Bcases%7D13.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D2%2C%5C%5Ct%3D7.%5Cend%7Bcases%7D%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

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