帕普斯定理与交比不变性

前面的《梅涅劳斯定理》文章中我们提到《球面论》第三册。梅涅劳斯不加证明的引入了球面交比不变性作为引理。

为了证明这个引理，十世纪的数学家们使用他们发现的球面正弦定理证明了该引理。这些都是后话。

关于平面上的交比不变性，有记录的最早证明应该是公元4世纪，帕普斯在其著作《数学汇编》中，用于证明帕普斯定理，而引入的一个引理。

公元4世纪，希腊数学已经式微。公元前146年亚历山大被罗马人占领，公元后，学者们的兴趣转向天文应用，这个时期出现梅涅劳斯、托勒密等大师在三角学上有所建树，理论几何的活力逐渐凋萎。此时亚历山大的帕普斯努力总结数百年来的前人所取得的成果，避免其失传。

帕普斯对他那个时代存在的几何著作综述评论和指南，其中包括帕普斯自己的著作，写成八卷的《数学汇编》。其中应用和参考了三十多位古代数学家的著作，传播了大批原始命题及其进展、扩展和历史注释。由于许多原著已经散失，《数学汇编》便成为了解这些著作的唯一源泉，是名副其实的几何宝库。

这里我们就详细介绍《数学汇编》中帕普斯是如何证明帕普斯定理的。

帕普斯定理

直线上依次有点，直线上依次有点，设交于，交于，交于，则共线。

这个定理的证明方法有很多，这里介绍的是最原始的证明。

引理3

如图，三条共点直线，,和，被两条直线和相交,其中,则

这里当然是用现在的符号写的，在帕普斯的数学汇编中，采用的是如下形式

这里，我们注意到这项，是不是很像现在交比(cross ratio)的形式了。

现在，我们可以将交比,写成如下形式

容易看出，

因此

引理10

如图，BE,DH在A出交叉,若，那么和必共线。

引理11

如图，其中,则

当然帕普斯使用的符号和今天的是有区别的。

引理12

如图，,

考虑通过G点的两条直线，交共点于A的三条直线，由引理3和11，我们有

考虑过D的两条直线角共点于B的三条直线，我们有

因此，我们有

由引理10，我们知道三点共线。

引理13

引理13，类似于引理12，只不过与相交于点。

证明过程和引理12是类似的。

引理15和引理17

引理15和引理17，是指当为与的交点，那么三点共线。

这个结论是显然的。

从这里，我们发现通过交比不变性证明帕普斯定理是简单的。

交比

接下来，我们对交比进行说明。

一般情况下，我们对四个共线的点,我们记

注意到，我们如果将,,,看做有向线段。则交比就有了正负。

如果交比

那么，我们称为调和点列。

而我们知道调和点列与二次曲线的极点和极线有着很深的联系。而帕普斯定理中的两条直线可以看做未二次曲线的退化情形，这样我们就发现帕普斯定理其实是帕斯卡定理的特殊情形。

而对于二次曲线极点极线的研究，以及帕斯卡定理的研究，使得数学家们意识到对于二次曲线存在着一种特殊的变换，称之为配极变换。

这个将导致数学家们发现了数学中的一个极为重要的概念对偶。