2011年数一真题复盘

2022-10-30 15:23 作者:CHANXIN_ 0人读过 | 我要投稿

开此专栏是受"Atopos三无"影响，向他学习。

本人是2023届考生，考的是数学一。开此专栏，主要是对做过的真题/模拟题总结复盘，愿能在今后多多回看，也能给这段时间留点痕迹。愿能跟大家共同进步。

2011年这套卷总体难度不算很大。不过还是有几道题挺有意思的。我的错误主要在于T8、T18与T23.T8是没做出来，解析给的有两种：1）无论X、Y怎么变化，UV的乘积都为XY，这个思路没什么计算量，但我是真没想到；2）利用公式： $max%7B%EF%BC%88X%2CY%EF%BC%89%7D%3D%5Cfrac%7BX%2BY%2B%7CX-Y%7C%7D%7B2%7D%20%E3%80%81%E4%BB%A5%E5%8F%8Amin%7B%EF%BC%88X%2CY%EF%BC%89%7D%3D%5Cfrac%7BX%2BY-%7CX-Y%7C%7D%7B2%7D%20$

这个是常规思路，应熟练掌握，除此之外，还应牢记max与min的概率密度函数；T18（II）我也只做了一半，脑袋迷糊了，没想到用单调有界，一直想着怎么夹逼了；T23是计算时抄漏了概率密度的二次方，唉😮‍💨！

以下是各题分析：

T1. 中上难题，考查拐点的判定。这题还真是开卷"惊喜"，直接求三阶导当然可以做，但是不太现实。于是分析了一下，拐点为二阶导=0，但三阶导≠0的点，接着我算出了一阶导，继续分析，若再求一次导，则明显会有一份(x-2)会被降成0次幂，故排除x=2，由此继续分析，若再求到三阶导，则(x-3)会有一份被降成0次幂，故f'''(3)≠0，不满足拐点，由此可得选C！这题放在第一题还是很有难度的，不过仔细分析一下还是能做出来。李艳芳老师的解析了提到了"穿针引线法"，我在B站上看到了王谱老师的"沉鱼落雁法"，个人更倾向于后者，感兴趣的可以在B站花半个小时学习一下，但切勿沉迷ಠ_ಠ！

T2. 常规题，考查幂级数收敛域的求取。这题关键要意识到收敛域是对称的，由此可排除AB，进一步代入由莱布尼茨可知x=0处收敛，选C。

T3. 基础题，考查多元极值的求取。计算别出错就好，牢记好AC-B^2>0.

T4. 常规题，考查定积分大小的比较。展开cotx的表达式可知其大于cosx，且lnx为单调递增函数，故可选B。

T5. 基础题，考查矩阵的初等变换。牢记好一些常用公式即可，记不起来的可现场推下。

T6. 常规题，考查伴随矩阵的秩及基础解系的性质。由s=n-r可知r(A)=3，因此r(伴随)=1，故基础解系3维，且将A的解代入Ax=0的解可知，a1、a3相关，故选D。

T7. 常规题，考查概率密度的性质。利用好归一性及分部积分法，D分布后可相消，结果为1.

T8. 难题，考查随机变量的数字特征。于我而言是难题了，牢记好max、min与X、Y的关系即可，经此一错，我牢牢掌握了(｡ì _ í｡)！或者利用X、Y无论如何变化，UV=XY，可轻松算出选B。

T9. 常规题，考查弧长的求取。要注意到弧微元转换是会出现y'，故直接代入即可，无需取求取这个积分。

T10. 简单题，考查一阶线性微分方程的求取。套公式，代初值即可。

T11. 简单题，考查多元函数的偏导计算。直接求解即可，对x求二阶偏导可开始就代入y=2.

T12. 常规题，考查二型空间线积分的计算。方法很多，这里我用的是转换为二型平面线积分后用格林公式，也很快。

T13. 常规题，考查二次型正交变换。二次型经正交变换化为标准型，则特征值为0、1、4，故二次型矩阵r=2，计算行列式=0即可解出A。

T14. 基础题，考查独立性相关性及数字特征。对于正态分布及0-1分布，不相关即独立。

T15. 简单题，考查1∞型的极限计算。这类题，不仅要会做，而且还要做得快。

T16. 常规题，考查多元复合偏导数的计算。这类题要小心点，计算要细心，并且对y求偏导时可先带入x=1，这样可以简化计算。

T17. 中等题，考查零点问题。这类题一般思路是先分离变量，然后构造F(x)，进一步讨论。不过对于此题无法分离变量！故直接构造F(x)，然后求导数讨论，并且注意到F(x)为奇函数，故仅需讨论右半部分即可！

T18. 中等题，考查不等式的证明及数列收敛证明。第一问较常规，相信大家都做过很多了，利用拉朗中值或构造F(x)证明均可；第二问思路要清晰，证明数列收敛常用单调有界准则，由（I）知数列有下界，故仅需证明单调递减即可！我常常不看清题就直接开做了，这个坏习惯得改正！

T19. 中等题，考查二重积分的计算。对于积分里面出现导数或变上限积分，都要联想到使用分部积分法！对于此题，注意先凑y再凑x即可，以及要注意积分换序的问题，这题给的均是(0,1)，换序直接换dxdy就行。

T20. 常规题，考查向量组间的线性相关问题。第一问，对于线性表示问题，可以转换为方程组BX=A的问题来求解；第二问也是转换为AX=B来求解即可。

T21. 常规题，考查特征值与特征向量的问题。第一问注意到等式两端的向量仅差1个负号，由此可得两个特征值1与0，并且r(A)=2，故还有一0特征值；第二问有两种方法，第一种利用A的实对称、r(A)=2及等式关系直接设A计算，对于本题计算量不算大，第二种方法是利用实对称矩阵的正交变换，由1）可得正交矩阵Q，则A=Q $%5CLambda%20$ Q^T。

T22. 常规题，考查二维离散型随机变量的分布及数字特征。这题比较常规，直接计算即可。

T23. 常规题，考查最大似然估计及统计量分布。第一问直接计算即可，正态分布的概率密度要牢记，且是对 $%5Csigma%20%5E2%20$ 求导！第二问要联想到 $%5Cchi%20%5E2%E5%88%86%E5%B8%83$ ，且要熟记 $%5Cchi%20%5E2%E5%88%86%E5%B8%83$ 的D $%5Cchi%20%5E2$ =2n,E $%5Cchi%20%5E2$ =n！