第五章 矩阵特征值问题及二次型

定义5.1 设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使得Ax=λx成立，那么数λ为A的特征值，x为A对应于λ的特征向量。有（λE-A)x=0

注：n阶矩阵在复数范围内有n个特征值

定理5.1 设λi是n阶方阵A的ri重（代数）特征值，对应λi有si个（几何）线性无关的特征向量，则1<=si<=ri

定理5.2 设A为n阶方阵，A的n个特征值为λ1,λ2,...,λn，对应的特征向量为x，又设

f(λ)=a(s)λ^s+a(s-1)λ^(s-1)+...+a1λ+a0

为一多项式则f(A)的特征值与特征向量不变，f(A)=0,则f(λi)=0

定理5.3 λ是A的互不相同特征值，x为与之对应的特征向量，则x线性无关。

定理5.4 

1. 对角线元素之和等于特征值之和

2. |A|=λ1λ2...λn

3. A^T的特征值还是λ

推论5.1： 0是A的特征值的充要条件是A的行列式为0

定义5.2 设A，B都是n阶方阵，若有可逆矩阵P使(P^-1)AP=B则称B为A的相似矩阵，P为相似变换矩阵

定理5.5 A与B相似，则A与B特征多项式相同，从而特征值相同。

推论5.2： A与对角阵D相似，则D对角线元素为A的特征值

定理5.6 n阶方阵A能对角化的充要条件是A要有n个线性无关的特征向量（P可逆）

若λ互不相等，则A与对角阵相似

定义5.3 Q^-1=Q^T，则称Q为正交阵 QQ^T=E

引理5.1：对称矩阵的特征值为实数

引理5.2：设λ1，λ2是对称矩阵A的两个特征值，p1，p2是对应的特征向量，若λ1不等于λ2，则p1与p2正交

定理5.7 设A是方阵，且仅有实特征值，则存在正交阵Q使得(Q^t)AQ=T

其中，T为一个上三角矩阵

定理5.8 设A是一个方阵

a. 若A对称，则存在正交阵Q使得Q^tAQ=diag(d)

（合同对角化）

b. 若Q^tAQ=D，则A为对称矩阵

定义5.5 含有n个变量x的二次齐次函数称为n元二次型

定义5.6 若秩为r的二次型f=x^tAx，通过可逆线性变换x=Cy，可化为只含平方项的二次型，则该二次型为f的标准形。

定义5.7 C^tAC=B，则A与B合同

变换后，二次型的矩阵A变为与A合同的B，且二次型的秩不变

定义5.8 设yi=(1/√ki)zi，则标准形可化为规范形，且唯一。

定义5.8（惯性定理）秩为r的二次型总可以化为标准形，

f=k1y1^2+k2y2^2+...+kpyp^2-...-kryr^2

p为正惯性指数，r-p为负惯性指数

化为标准形的方法

1. 正交变换法

2. 配方法

定义5.9 恒有f大于或小于0则称为正或负定二次型，不严格为半正定或负定二次型，其余为不定二次型

定理5.10 n元二次型正定的充要条件是f的正惯性指数为n（A的特征值全部大于零）

定义5.10 顺序主子式

定理5.11 等价命题

1. f为正定二次型

2. p=n

3. λ都大于零

4. 各阶顺序主子式全大于零（赫尔维茨定理）

等价结论

1. 同上

2. 奇数阶顺序主子式小于零，偶数阶大于零。

定理5.12 设m阶实方阵A有m个线性无关的特征向量s，

|λ1|>|λ2|>=...>=|λm|

则对任一的非零初始向量

x0=a1s1+a2s2+...+amsm

则有lim(yn)=as1  lim(m(xn))=λ1