拓扑——微分几何与广义相对论的学习笔记与感悟

        拓扑是研究“空间”的工具，它是一种高度抽象的概念。拓扑的定义基于对“开集”的定义，当定义了开集的时候也自然而然的可以定义出拓扑，因为开集使用性质当作定义的：1）有限个开集的交集还是开集，2）任意个开集的交集还是开集。因此只要我声明，集合X的子集可以构成一个集合B（集合的集合）里面的任意元素oi（集合）满足上面两个条件，那么B就可以被认为是开集的集合。要是再满足空集和X本身也是B中的元素，那么B就可以被定义的 拓扑

        包含该拓扑的集合X既可以被称为拓扑空间。

        然而在同一个集合X上也可以定义出多种拓扑α，β…为了表示清楚表示记作（X，α）,（X，β）…

        离散拓扑，凝聚拓扑，通常拓扑，诱导拓扑，拓扑子空间…

        在学习这些拓扑相关的概念之余，我们不得不思考，拓扑的作用是什么？它可以被应用到哪些领域？这么抽象的概念一定是后来人们抽象某个具体事物得来的，那么先前人们是在研究什么的时候发明了拓扑的概念？

        集合是个好东西，集合不是孤立存在的，不论是数学上，也在哲学上有体现，事物是普遍联系的。集合之间的联系由映射 f 体现。但是在定义拓扑之前，我们可以确定集合之间存在联系，却无法确定映射有哪些性质的，当定义了拓扑我们就可以确定映射是否“连续”的性质了，于是我们大胆的问了：这个集合是开集吗？这个映射是连续的吗？除了这两个问题别的问题暂时还是无意义的。

        对于集合之间的映射，我们可以问两个问题1）是不是一一 (one-to-one) 的？2）是不是到上 (onto) 的？将该性质应用到拓扑空间上，当两个拓扑空间（X，α）和（Y，β）之间的映射 f 一一到上（也就是“一一映射”）条件并且还满足 f 与 f-1 是连续的那么这两个拓扑空间就是互为同胚，f 与 f-1 分别是（X，α）到（Y，β）以及（Y，β）到（X，α）同胚映射。