高考数学逐年创新，特别是在导数和解析几何上，每年几乎都有新题型出现。

我总结发现，这些模型大都是多年前竞赛考过的，像彭赛列闭合定理，坎迪定理，仿射变换，包括极点极线。所以我在自己竞赛学习的经验中，总结了一些可能出现在高考中的背景。

我写本文的目的在于：让大家提前了解一些简单的背景，适应从未见过的模型。

首先声明，我不会把背景对应的定理本身阐述出来，而是以题目的方式出现

本期我们先发导数部分，下期我们补上解析几何的内容

Warning：这些背景大家下来可以自行深入研究，但是不要运用在考试中，我们高考场上的过程一定是不超纲的。

第一题

，，x>0

（1）求f（x）与g（x）的增减性

（2）已知：有唯一常数e使得恒成立，求证：

本题蕴含了两个背景：e的极限定义和斯特林公式；第一问的解决方法来自一般的微积分教材：对数求导法；第二问则是常规的数列不等式

下面给大家看看两个函数的图像

解答：

第二题

（1）证明：

（2）求函数f（x）单调区间

（3）判断大小并说明理由

本题的背景比较经典，是均值不等式的推广幂平均值不等式，强基计划和竞赛生务必去了解详细。第一问简单的放缩，第二问的处理和第一题一样取对数，第三问则是比较困难的同构。

给大家看看函数的图像

解答：

第三题

，

（1）当时，若恒成立，求实数a的取值范围

（2）求证

本题的背景是伯努利不等式，虽然课本上有但是从未考过。这个不等式在强基竞赛也很重要，有时候做高考的比大小也可以用到。第一问是常规的导数不等式证明，第二问则要求考生强大的迁移和放缩能力。

我通过函数图像看放缩精度还是比较高的

解答：

第四题

定义域和值域都是非负实数集的函数满足恒成立

（1）若恒成立，求实数a的值

（2）求证：对所有正整数n成立

本题的背景与微分方程有关，在之前的高考题中也出现不少了，难度很大、维度很多。第一问是常规的导数不等式，第二问是常规的数列不等式。下面我放几道这种“微分方程”练练手。

练习1、对实数x成立，求证：

练习2、对定义域内的数恒成立，求证：

解答：

本次的分享到此结束，下次分享我们争取在五月份之前。

具体内容有：帕斯卡定理，坎迪定理及方法，直线系覆盖，彭赛列闭合定理方法，仿射变换，梅涅劳斯定理

点个关注不迷路，我们不见不散！