用现代理论解释亚里士多德的落体结论，以及伽利略的批评

通常流行的对这件事情的介绍，如课文《两个小球同时着地》这样说：

　亚里士多德曾经说过：“两个铁球，一个10磅重，一个1磅重，同时从高处落下来，10磅重的一定先着地，速度是1磅重的10倍。”这句话使伽利略产生了疑问。他想：如果这句话是正确的，那么把这两个铁球拴在一起，落得慢的就会拖住落得快的，落下的速度应当比10磅重的铁球慢；但是，如果把拴在一起的两个铁球看作一个整体，就有11磅重，落下的速度应当比10磅重的铁球快。这样，从一个事实中却可以得出两个相反的结论，这怎么解释呢？

首先，承认实际情况下，物体下落时，速度会到达某个定值而不再加速，所以我们说“落得慢/落得快”可以直接用这个终末速度表示；有一个量（不妨称为指标p），它参与决定了终末速度。亚里士多德认为p是表示物体“轻重”的量。

伽利略所说的矛盾在于：

根据【拖住】理论，即“石头被纸张拖住，纸张被石头牵引，所以整体落得比石头慢，比纸张快”：石头+纸张的整体，它的p需要在石头的p和纸张的p之间。也就是说，整体的p是各部分的p通过某种平均算法所规定的。它应该是一种强度量。

根据【累加】理论，即“石头加上纸更重，越重下落越快，所以整体落得比石头快”：石头+纸张的整体，它的p需要是石头的p和纸张的p之和。也就是说，整体的p大于各部分的p。它应该是一种广延量。

很明显，在有空气阻力的世界里，【拖住】理论是正确的。实践中，我们大量使用降落伞来拖住物体的下落。所以这个【决定物体下落快慢】需要是一个强度量。

假设我们有一个竖直向下的相当强的匀强电场，并忽略一切速度相关的阻力，那么这个时候很清楚，决定点电荷下落快慢（现在我们用通过整段匀强电场的时间来表示）的量，就是荷质比，而且很幸运的是，荷质比是一个强度量。此时，两个荷质比不同的粒子连在一起，它们在电场中的运动，自然也是如“拖住”理论所说，这个整体落得比荷质比较大的粒子更慢，比荷质比更小的粒子更快。一切自洽。

以上在电场中的讨论，使得我从强度量、广延量的角度考虑伽利略的批评。由此反思：

有一个强度量能表示物质的“轻重”，那就是密度。石头加纸，密度当然是在石头的密度和纸的密度之间，石头加纸不会变得更重。

现代理论中，我们甚至可以对流动介质中的球体使用Stokes阻力公式

（式中的η是粘滞系数，而R自然就叫做Stokes半径），来计算两体栓接的终末速度。

设两球体分别具有半径  以及密度  ，它们同在粘滞系数为

 的流体中。栓接前，终末速度使得它们的阻力各自与重力平衡，也即

得到   。

栓接后，终末速度使得它们的阻力之和与重力之和平衡，也即

得到  。这就是普通的加权平均，是将两球体的终末速度按半径加权的算术平均值。

现在，密度确实参与表达了终末速度，即物体下落快慢。对单球，密度确实以正比的形式决定了终末速度；但对两球栓接，它显然不是一个正比关系，但确实是正相关的关系，且终末速度对两球密度符合双重线性，但终末速度和两球整体的平均密度没有什么关系。

由此，我们在现代理论框架下部分解释了亚里士多德的结论，而且足以回答伽利略的批评。