尺规作图及尺规作图不可能问题

这个问题是一波回忆杀（可能仅对于我来说），曾经我也幻想过化圆为方，但我发现π的长度似乎无法用尺规作图作出，于是，天真的大脑里萌生了关于一条可以表示圆面积变化的曲线（后来我知道就是圆积线）。而最近，受到“解几”的启发，现在可以对这个问题给出一个解答
证明分为两步，最后还会给出正多边形的构造原理
一、尺规作图的可做点
所谓可做点是指利用已知点，作出有限（或无限）直线和圆所产生的交点，毕竟这样的点才具有尺规作图意义。因为要讨论可作点性质，我们引入坐标轴，见下图（一个坐标轴的诞生）

说其不完整，实际上是因为由这种方法只能作出以下的点：
（1）所有整数格点（2）所有有理数格点（3）所有偶数次根数格点
下面证明只能做出这些性质的点

（注：“三个性质指上文提到到的三个性质”）
二、尺规作图三大不能问题不可能性证明

就这么浅显的证完了，但其实有一些细节并没有解决：
（1）π是超越数的证明（2）三倍角公式和一般三次方程求根公式的证明
但这些问题与本篇内容有一定偏离，在这里不多赘述
三、正奇数多边形的作图
以正十七边形为例，即要解决正十七边形一个角的余弦值，给出一个算法证明如下

这显然不是我编辑的，但我确实算过一遍（草稿本为证好吧），以上结果满足三个性质，可由有限次操作作出（操作指对线段的五则运算）
同理地，我猜测所有满足2^（2^k）+1且为质数的多边形都可由尺规作图作出（因为毕竟3、5、17都满足这个性质，这是合理猜测），我上网搜了一下，发现这个结论对但不完全对，这种数叫做高斯素数，目前只发现了5个，所有高斯素数的一次乘积仍然满足该性质（即15、51等数满足），如今有人猜测尺规作图可作正奇数多边形有有限个，但并没有给出证明
好了，本期到此为止，期待你可以解决第六个高斯素数或只有5个高斯素数的证明