一个与欧拉线有关的问题

好久不见，上次更新还是在上次了，话不多说给出命题 设Rt△ABC，内心为O，F、H、G是其切点，则△FHG的欧拉线平分斜边AB

分析:关于内心，线段易转换为三边的比或用三边表示，因此从线段入手 证明:设△FHG欧拉线为DO交AB于点M（D为垂心），如图连接

易知四边形FOGC为正方形，于是HQ为FG边上的中线，由Euler线定理知P为△FHG重心，故QP:PH=1:2，设BC=a，AC=b，AB=c，熟知CO/ON=（a+b）/c（角平分线定理即证），因而QO/ON=（a+b）/（2c)，我们再转向底边，NH=AH-AN=[（b+c-a）/2]–[bc/（a+b）]=[（b-a)（a+b-c)]/[2（a+b）]，注意到直线MOP及△QNH，由Menelaus定理得（QO/ON）/（NM/MH）/（HP/PQ）=1，令MN=x，代入上式易化简得（a+b-c）x=[c（b-a)（a+b-c)]/[2（a+b)]，所以x=（bc-ac)/[2（a+b)]，再将AM=AN-x化简即得AM=1/2c，故命题得证。 。。。。神奇的分割线。。。。 既然更了欧拉线那么九点圆也不能缺席，那么下期就开始更九点圆吧！（打字实在是很累，所以就只有一个题） 鉴于本人水平有限，有错误或不当还请指出