巴黎圣母院的钟声迎来了20世纪. 1900年，人们都把眼光放在未来：无产阶级正在组织沸腾的革命，科学家憧憬着惊人的突破，艺术家在追逐时代的潮流⋯⋯.这一年的8月6日，国际数学家代表大会在巴黎召开.年方38岁的德国数学家大卫·希尔伯特(David Hilbert, 1862~1943)走上讲台,第一句话就问道:“揭开隐藏在未来之中的面纱，探索未来世纪的发展前景，谁不高兴呢?”[1]接着，他向到会者 也向国际数学家大会提出了23个数学问题，这就是著名的希尔伯特演说.这一演说，成为世界数学史上的重要里程碑，为20世纪的数学发展揭开了光辉的第一页！

　　科学发展的每一个时代都有自己的问题.希尔伯特站在当时数学研究的最前沿，高瞻远瞩地用23个数学问题，预示20世纪数学发展的进程. 现在，时光已过去了一百年，这23个问题约有一半已获得解决.百年来，人们把解决希尔伯特问题，那怕是其中一部分，都看成是至高无上的荣誉.据统计,从1936年至1974年,被誉为 希尔伯特数学诺贝尔(Nobel)奖的菲尔兹(Fields)国际数学奖的20名获奖人中，至少有12人的工作与希尔伯特问题有关. 1976年美国数学会组织评论 1940年以来的美国十大数学成就，就有三项是希尔伯特问题的(1)、(5)、(10)等三个问题的解决. 重要的问题历来是推动科学前进的杠杆之一，但一位科学家如此自觉、如此集中地提出一整批问题，并且如此持久地影响一门学科的发展，在科学史上确是罕见的.

　　希尔伯特1862年生于德国的哥尼斯堡(现为俄罗斯的加里宁格勒). 1884年获哥尼斯堡大学博士学位. 1895年担任著名的格丁根大学教授，直到1943年去世. 他最初的研究领域是代数不变量和代数数论. 1900年前后致力于数学基础——元数学.后来又转到分析方面，在积分方程、变分法、泛函分析、理论物理等许多领域作出了杰出的贡献.

　　希尔伯特为发表1900年的重要演说，曾作过仔细的准备. 1899年，第二届国际数学会议的筹备机构邀请希尔伯特在会上作主要发言. 希尔伯特接受了邀请，并计划在这世纪交替之际作一个相称的发言. 当时他有两个想法：或者作一个为纯粹数学辩护的演讲，或者讨论一下新世纪发展的方向.为此，他写信与他的好友、杰出的数学家闵科夫斯基进行商量.闵科夫斯基于1900年1月5日回信说：“最有吸引力的题材莫过于展望数学的未来，列出在新世纪里数学家应当努力解决的问题.这样一个题材，将会使你的讲演在今后几十年的时间里成为人们议论的话题.”当然，闵科夫斯基也指出了作这类预见性发言会遇到的困难.

　　经过一番斟酌，希尔伯特决意选择第二个想法，提出一批急需解决的重大数学问题. 希尔伯特曾指出，历史上通过提出问题会导致整门新学科的诞生.他举了三个典型例子. 第一，伯努利(Bernoulli)最速降落线问题是现代数学分支——变分法的起源.第二，费马(Fermat)问题，它看上去“非常特殊，似乎不十分重要”，却大大推动了代数数论的进展，现代代数数论中的核心概念“理想数”正是为了解决费马问题而提出的.第三，三体问题，它对现代天体力学起了关键性的作用. 这三个问题，既有纯粹从数学本身提出的，也有从基本自然现象提出的.希尔伯特提出的问题后来也确实形成了许多新的数学分支，达到了预期的目的.

　　对希尔伯特来说，在国际数学家会议上报告自己的成果，远比提出新问题要容易得多.当时，希尔伯特正当科学创造活动的盛年，业已作出了许多世所公认的成绩.人们本来以为他会拿出优异的数学论文来回答国际数学界，却没有想到他竟会选择如此困难的题目来作讲演.希尔伯特接受任务以后，一直做着仔细的准备，直到6月份，他的讲演稿还没有写出来. 预定8月在巴黎举行国际数学家会议的日程已发到代表手中，其中没有列入希尔伯特的讲演.7月中旬，他才给闵科夫斯基寄去第一稿的样本.闵科夫斯基和希尔伯特的另一位学长和朋友赫尔维茨(Adolf Hurwitz, 1859~1919)对初稿进行研究，帮助希尔伯特作了修改. 如果从1899年底开始考虑选题算起，希尔伯特为了提出这23个题目整整花了8个月的时间.

　　希尔伯特的演说获得了极大的成功. 各国的数学杂志纷纷转载他的演说稿，大批数学家投入解决希尔伯特问题的激流中去.问题(3)当年就被希尔伯特的学生德恩(Max Wilhelm Dehn, 1878~1952)所解决. 迄今为止，已完满解决的希尔伯特问题约占一半，有几个问题比较笼统，难以判定解决与否，大约还有三分之一的问题仍悬而未决，有的有了部分进展，有的则差得很远. 1975年，在美国的伊利诺斯大学召开了一次国际数学会议，邀请世界著名数学家参加，专门研究希尔伯特问题的进展. 会后出版的论文集详细地介绍了各个问题的进展.[2]

　　大数学家外尔(Claude Hugo Hermann Weyl, 1885~1955)在悼念希尔伯特时曾经这样说过：“希尔伯特就像穿杂色衣服的风笛手，他那甜蜜的笛声诱惑了如此众多的老鼠，跟着他跳进了数学的深河.”[3]对有志于此的人们来说，这23个问题正是这样一种甜蜜的笛声，我们至今似乎仍能听到他的召唤. 值得高兴的是，中国数学家在问题(8)和问题(16)上曾经作出一些贡献.

附: 希尔伯特的23个问题的解决情况

(1)康托尔的连续统基数问题

　　1874年，康托尔猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设. 1938年，侨居美国的奥地利数学家哥德尔(Kurt Godel, 1906~1978)证明连续统假设和ZF集合公理系统的无矛盾性. 1963年,美国数学家科恩(Paul Joseph Cohen,1934~ )证明连续统假设和ZF公理是彼此独立的.因此，连续统假设不能用世所公认的ZF公理证明其对错. 希尔伯特问题(1)在这一意义上已获解决.

(2)算术公理的无矛盾性

　　欧氏几何的无矛盾性可归结为算术公理的无矛盾性.希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明.哥德尔在1931年发表不完备性定理加以否定. 1936年根岑(Gerhard Karl ErichGentzen, 1909~1945)在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的无矛盾性.

(3)两个等底等高四面体的体积相等问题

　　问题的意思是：存在两个等高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等. 德恩证明确实存在着这样的两个四面体(1900).

(4)两点间以直线为距离最短线问题

　　此问题提得过于一般. 1973年，苏联数学家波戈列洛夫(Alek-sei Vasiljevich Pogolelov, 1919~ )在对称距离情况下给出一种解决此限制的条件. 1973年，波戈列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决.

　　(5)一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的

　　这一问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧氏群都一定是李群?经过冯·诺伊曼(John von Neumann, 1903~1957)(紧群情形: 1933)、庞特里亚金(Lev Semenovich Pontryagin, 1908~1988)(交换群情形,1939)、谢瓦莱(Claude Chevalley, 1909~1984)(可解群情形, 1941)的努力,于1952年,由格利森(Andrew MatteiGleason, 1921~ )、蒙哥马利(Deane Montgomery, 1909~1992)、齐平(Leo Zippin, 1905~ )共同解决,得到了完全肯定的结果.

(6)物理学的公理化

　　希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理.首先在概率论和力学上取得成功. 1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化.后来在量子力学、量子场论方面取得了很大成功.但是物理学是否能全盘公理化，很多人表示怀疑.

(7)某些数的超越性

　　问题要求证明： 如果α是代数数，β是无理数的代数数， 那么α^β 一定是超越数或至少是无理数（2^(sqrt(2))和ℯ^(π) = ί^(-2 ί)）1934年,苏联数学家盖尔丰德(Alexandre Osipovich Gelfond, 1906~1968)证明这是对的. 1935年,德国数学家施奈德(Theodor Schneider,1911~ )也独立地解决了这一问题.

(8)素数问题

　　素数是一个古老的研究领域.希尔伯特在此提到黎曼猜想、哥德巴赫(Goldbach)猜想以及孪生素数问题.

　　黎曼猜想至今未能解决.哥德巴赫猜想亦未最终解决，中国陈景润(1933~1996)取得领先地位. 目前孪生素数的最佳结果也属于陈景润.

(9)在任意数域中证明最一般的互反律

　　该问题已由德国数学家阿廷(Emil Artin, 1898~1962)基本解决(1927)，但至今仍在继续发展类域理论.

(10)丢番图(Diophantus,古希腊数学家)方程的可解性

　　求出一个整数系数方程的整数根，称为丢番图方程可解. 希尔伯特问，是否有一种有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性? 1959年,美国数学家戴维斯(Martin David Davis,1928~ )、普特南(H. Putnam, 1924~ )、鲁宾孙(Julia Bow-man Robinson, 1919~1985)等取得关键性突被,1970年,苏联的马蒂塞维奇(Juriv Vladimirovich Matijasevich)最终证明,本问题的答案是否定的. 尽管结果是否定的，却由此产生了一系列很有价值的副产品，其中不少和计算机科学有密切联系.

(11)任意代数数系数的二次型

　　德国人哈塞(Hermut Hasse, 1898~1979)和西格尔(Carl Lud-wig Siegel,1896~1981)在1920年代获重要结果. 1960年代,法国的韦伊(Andre Weil, 1906~1998)取得了新进展.

　　(12)将阿贝尔(Abel)域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去

　　这个问题影响很广，影响到类域论、群的上同调方法、L级数以及将二次互反律推广到非交换情形的“朗兰兹(Langlands)计划”.无数数学家正为此而奋斗.

(13)用两变量函数解一般七次方程的不可能性

　　七次方程 x⁷+ax³+bx²+cx+b+1=0 的根依赖于3个参数a、b、c,x=x(a,b,c).这一函数能否用两变量函数表示出来?

　　这一问题已接近解决. 苏联数学家阿诺尔德(Vladimir Igore-vic Arnold, 1937~ )解决了连续函数的情形(1957). 1964年维图什金(Anatolii Georgievich Vituskin,1931~ ) 又推广到连续可微函数情形.如要求解析函数，则问题尚未解决.

(14)某些完备函数系的有限性的证明

　　这和代数不变量问题有关. 日本数学家永田雅宜(MasayosiNagata, 1927~ )给出了漂亮的反例(1959).

(15)舒伯特计数演算的严格基础

　　一个典型问题是： 在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交?舒伯特(Hermann Casar Hannibal Schu-bert， 1848~1911)给出了一个直观解法. 希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础. 现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学有密切联系.

(16)代数曲线和代数曲面的拓扑问题

　　这个问题分为两部分.前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目.后半部分要求讨论dy/dx=Y/X的极限环的最大个数和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式. 苏联的彼德罗夫斯基(Ivan Georgievich Petrovsky, 1901~1973)院士曾证明n=2时极限环的个数不超过3. 1979年，中国的史松龄以及王明淑(1931~1984)分别举出有四个极限环的反例.

(17)半正定形式的平方和表示

　　一个实系数n元多项式对一切数组(x₁，···， xn)都恒大于或等于0，这些多项式是否都能写成平方和的形式?1927年， E.阿廷证明这是对的.

(18)用全等多面体构造空间

　　德国数学家比伯巴赫(Ludwig Georg Elias Moses Bieber-bach, 1886~1982)(1910)、莱因哈特(Reinhardt) (1928)作出部分解决.

(19)正则变分问题的解是否一定解析

　　伯恩斯坦(Sergei Natanovich Bernstein, 1880~1968)和彼德罗夫斯基等得出了一些结果，接近解决.

(20)一般边值问题

　　这一问题的进展十分迅速，已成为一个很大的数学分支.目前还在继续研究.

(21)具有指定单值群的线性微分方程解的存在性证明

　　已由希尔伯特本人(1905)和勒尔(Helmut Rohrl, 1927~ )(1957)、德利涅(Pierre Rene Deligne, 1944~ )(1970)等人所解决.

(22)由自守函数构成的解析函数的单值化

　　它涉及艰深的黎曼曲面论, 1907年克贝(Paul Koebe, 1882~1945)在单变量情形获重要突破，复变量情形尚未解决.

(23)变分法的进一步发展

　　这不是一个明确的数学问题，只是谈了对变分法的一般看法.20世纪变分法有了长足发展.

　　从上面的简单介绍不难看出，希尔伯特提出的问题是相当艰深的，一般人简直连题目也看不懂. 正因为艰深，才吸引有志之士去作巨大的努力.但它又不是不可接近的，因而提供了使人们终有所获的科学猎场.百年来，人们始终注视着希尔伯特问题的研究，绝不是偶然的.当然，预测不可能全部符合后来的发展. 20世纪数学发展的广度和深度都远远超出世纪之初的预料，像代数拓扑、抽象代数、泛函分析、多复变量函数等许多理论学科都未列入这23个问题，更不要说与应用有关的应用数学以及随计算机出现发展起来的计算数学和计算机科学了.

参考文献

[1] Hilbert D. Gesammelt e Abhandlungen 3 vols. Berlin: Springer,1932~1935

[2] Browder F. Mathematical developments arising from Hilbertproblems. Proceedings of the Symposium in Pure Mathemat-ics of the American Mathematical Society, Dekalb, May 1974. Providence: American Mathematical Society, 1976

[3] Weyl H. David Hilbert and his mathematical work. Bulletin ofAMS, 1944(50): 612~654 (中译本:赫尔曼·外尔. 大卫·希尔伯特及其数学工作. 见：数学史译文集. 上海：上海科学技术出版社，1981. 33~59)

[4] Reid C. Hilbert. New York, Heidelberg, Berlin: Springer, 1970(中译本： 瑞德. 希尔伯特. 上海：上海科学技术出版社， 1982)