速成抢救:考研高数·常用命题结论(7)·级数常用命题结论整理合集·一口气学完级数。
本集为无穷级数基本概念、基本命题、基本方法的总结合集。
安排了较为紧密的衔接，可一条龙学完级数。
序：
作者主张“理+念化学习”——
两手都抓都硬的任务是建立健全公理化学科体系，与树立恰当的久经考验的学科观念或意识（比如整个高等数学通用的极限观、线性观、逻辑观、重演观、配凑观，还有一些不太通用但也比较重要的观念，比如“幂为阶之准”。）这两方面都是优良学科素养的重要组成部分。
无穷级数与数列关系是密切的，级数就是其项的数列的求和。
级数相关的基本概念：
级数理论是分析学的一个分支；它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。二者共同以极限为基本工具，分别从离散与连续两个方面，结合起来研究分析学的对象，即变量之间的依赖关系──函数。
基本命题：无穷级数的性质
其中，一般项趋于0是级数收敛的必要条件，一般项不趋于零是级数发散的充分条件。如果令一般项趋于0成为某个级数收敛的充要条件，需加装条件使得一般项趋于0与级数部分和数列收敛是等价的才行。比如：
这个加装的条件比较特殊，所以性质更加优良了。加装适当的条件会改善级数的性质，我们通常加装的条件是级数通项非负，即“正项级数” 。
基本命题：正项级数的性质：
对于非正项级数，我们给它取绝对值后即可转换为正项级数，此时收敛情况称为绝对收敛。
基本概念：绝对收敛、条件收敛
绝对收敛是收敛的充分条件，收敛而不绝对收敛的情况为条件收敛。审敛通常审发散、绝对收敛或条件收敛，单说“收敛”则不够具体。对于判定条件收敛，必要的手续是先判定是否为绝对收敛，如果已经绝对收敛了，则直接结束。如数一1996、二（3）。我画一张关系图：
条件收敛和绝对收敛是互斥事件，不可兼得。
{绝对收敛*&条件收敛}时（*&表示条件掺杂），服从充分性水桶拼接规则。
要先进行审绝对收敛，再审条件收敛，基本方法：审敛的一般流程：
正项级数的审敛是我们所学级数审敛的主流。基本定理：正项级数收敛定理：
由上图知，所谓正项级数审敛法实质是考察部分和数列有界与否，依据是基本定理：单调有界准则：单调有界数列必有极限。
通常，题目会给出部分和数列有界的等价条件，常规操作是用不等式，这个具体花样很多，比如基本不等式、其他事情的一些用不等式描述的性质。
介绍正项级数的三种常用审敛法（我将积分审敛法归结为一种特殊的比较审敛法）
对于正项级数的比较审敛法，使用宜事先建立健全常用来进行比较的敛散性已知的正项级数库、对待比较的正项级数进行模式识别或库内匹配，对于库中应装备哪些呢？——基本结论：常用来进行比较的正项级数
“准p级数”我也把它称为“r级数”：
这个发散可以推广到p或r<=1,之所以限制<=0p级数的p要是等于0，那就是常数1，要是<0，那就是正幂函数，肯定发散，没有研究的必要。∴我们重点研究的是负幂函数的级数。
从该积分审敛法中我们得以加深本集开头“级数理论是分析学的一个分支；它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。二者共同以极限为基本工具，分别从离散与连续两个方面，结合起来研究分析学的对象，即变量之间的依赖关系──函数。”
库已经装备齐全，稍微变态的级数但有看起来像是比较友好的广义积分时，可用积分审敛法，因为不论其为连续还是离散，同一形式的敛散性是一致的，故我将积分审敛法归结为比较审敛法。基本方法：正项级数的比较审敛法：
上图的比较审敛法埋下了比值审敛法的彩蛋，比值审敛法是自审敛，无需借助于其他级数相比较，比值审敛法与根值审敛法皆为求ρ，
基本方法：比值审敛法、根值审敛法：
比值审敛法还可能因为比值不存在而失效，而根值则“健壮”一些。这也是根值审敛法比比值审敛法适用范围更广之所在。
基本结论：根值审敛法常用结论：
根值审敛法在战术地位上通常为比值审敛法的补充，比值审敛法还用于交错级数的莱布尼兹审敛法中审查绝对值是否递减。对于交错级数，基本方法：莱布尼兹审敛法：
但也有比较法：交错p级数的基本结论：
交错p级数诡异的地方在于级数重排，绝对收敛可任意重排，而条件收敛时结果因重排方式而异，比如交错调和级数（p=1）结果=ln2,一重排结果可能收敛于别的数，也可能发散了。
在众多类型的级数中，最重要的莫过于幂级数。幂为阶之准，一当将阶的比较量化为幂次的升降，事情就容易了许多。如果是幂次的级数，比如著名的泰勒级数，将某些曲线用幂级数展开，化曲为直是研究曲线的重要手段。千年以来，人们弄明白了线性是怎么回事，而研究非线性问题的主要手段是将其近似为线性。幂级数给出了具体是几阶近似的标准。
基本概念：幂级数的基本概念：
历史上阿贝尔主张幂级数展开只在收敛域有效，不能随便乱用，基本定理：阿贝尔定理：
根据阿贝尔定理，若幂级数不仅收敛于一点，也不在整个数轴上收敛，则一定收敛于某个区间，绝对值/距离的形式，决定了该区间是一个以底数为0的点中心对称的（开）区间。这个区间的长度即为收敛半径。至于区间端点，可能收敛也可能发散。
基本方法：求幂级数的收敛半径、收敛域：
对于幂级数，如果缺项的，则直接用上述方法有分母=零的bug。所以可经适当变形转换为不缺项的比如拆分、变量代换——基本方法：缺项级数变量代换的比值审敛法
需平移的话就平移，总之这个事不麻烦，有些麻烦的是幂级数中各种和函数和幂级数展开。两者是互为逆过程的。Σ分→和叫幂级数的和函数，和→Σ分是用幂级数展开。
基本方法：求幂级数的和函数：
调用前需建立健全一个常用幂级数的和函数公式库，并对待求和函数的幂级数进行库内模式识别与匹配。最常见的是泰勒级数的和函数，即“泰勒折叠”（反向展开）。对于常见的泰勒级数的记忆，我写了另一篇专栏速成抢救：高等数学·常见泰勒展开永久性牢记
除了泰勒级数，还建议加装逐项求导型基本公式：以等比级数求和公式为依托，
其收敛半径或者干脆说公比，都小于1
流程如下：
将Pm(n)配凑成m阶导数形式
平移逆代换
提出x的幂次溢出因子
调用最底层的功能元——等比级数的求和公式。
挖坑之处在于首项从何时开始，别弄岔了。
除了泰勒级数、等比级数的逐项求导变式，还要加装逐项求导再积分的：
总之，求和函数的方法是建立健全一个强大的模型库，以令其充当功能元（最基础的功能元是等比级数，没有之一）。同时总结几种常用的模式识别方法。
对于幂级数展开，其与求和是逆过程，但模型库并不用同一套。
基本方法：幂级数的展开
拽了点英文……不过应该不影响理解。凡是间接的，都是借助于已知的，凡是常用的已知的，就适合事先建库。学习在于建模，最终结果即为建立强大的模型库与模式识别本领。
对于傅里叶级数，考点一般是狄利克雷收敛定理，小题能考个计算傅里叶系数，重演最完善的还是下边这个：
比如将函数f(x)=10-x在[5<=x<=15]上展成以10为周期的傅氏级数。先延拓到[-5,5]上，然后再求傅里叶系数，这是个能求出来的分部积分，而且这个奇函数没有偶函数分量，所以这一个题重演得比较完善，能一举考好几个知识点。
但后来它非主流了，近几年都没有出现。
本集完~
