拉格朗日插值法

任给有限项数列，可以用一个多项式来表示该有限项的通项。具体的，如a1=2，a2=3，a3=4。我们可以很直观的看出该数列的通项是an=n+1。用拉格朗日插值法求得的通项公式为

这个通项经过化简后正好等于n+1。是不是很神奇？

下面我们来看一般情况，假设一数列的有限项为a1，a2，......，ai。则用拉格朗日插值法求得的通项可表示为

需要注意的是，拉格朗日插值法并不能找出所有的数列规律，如给出一个斐波拉契数列a1=2，a2=3，a3=5，a4=8。我们知道按斐波拉契数列的规律a5应该等于13，但是你用拉格朗日插值法求出通项后代入n=5得到的a5却是等于12，有兴趣的读者可以自己验证一下。