《虚数不虚》第四节：破解虚数（下）

在上一节中，我们把√(-1)当成一种新的数字看待。并且根据已有的运算规则，我们迈出了第一步，简化了卡丹（Cardan）的问题。但我们还需要庞贝利（Rafael Bombelli）的另一个卓见来解决问题。

庞贝利观察过三次函数的图像，不难发现它与x轴至少有一个交点，即这个方程必有一个实数解。因此，他的第二个洞见是把上式的两部分分别改写成：

这才能把√(-1)的部分抵消掉。于是，问题便有迹可循。通过对上面任意一个等式两边同时立方，我们得到了两个关于a、b的等式：

从上式要解出a、b有些难度。但庞贝利有更巧妙的方法：如果我们回到初始的三次方程x³=15x+4，然后试几个整数（这种方法称为试错法），我们不难知道“4”就是答案。我们便很容易地求出a=2，b=1（舍去负解）。我们可以验证一下，当我们把2+1√(-1)和2-1√(-1)加起来时，我们得到了“4”——刚刚蒙对的答案。

有意思的是，我们的问题和答案都没有出现√(-1)的身影，然而在解题过程中，√(-1)成了我们破解的关键，事实上，只要我们扩充数字体系，我们便能解决许多看似无解的问题。

法国著名数学家雅克·哈达玛(Jacques Hadamard,1865-1963)曾说：

The shortest path between two truths in the real domain passes through the complex domain.

（要理解实数域中的数学物理方程，就必须放到复数域中理解。）

遗憾的是，庞贝利在发现了如此有用的√(-1)之后，他仅仅公布了其发现，并评价这只是个便于计算的工具（hack）。 他说到：

The whole matter seemed to rest on sophistry rather than truth.

（整个过程更像是一种假象而不是一种真实）

如今我们知道，虚数的应用远不止于此。只是这一切显得太自然了，以至于在他看来，显得很不真实。很多学生在学习复数也会有这样的体会，如果你有这种感受，你就对了！

开方运算，与计算正方形的边长密切相关。对正方形的面积开方便给出它的边长。但是√(-1)，即“负面积”有没有它的边长？这样的问题拖慢了虚数的发展历程。然而虚数的隐晦，在于它蕴含着超越大多数人经验的深刻内涵。这一切，要等庞贝利去世很久之后才被真正发掘。

拓展阅读

如果你想要检验自己确实听懂了刚才的内容，就让我们完整的回顾一遍庞贝利的解答过程。

首先，它假设有

但正如前文所言，庞贝利知道三次方程的解必有一个实根。

因此它假设：

以消去√(-1)。用今天的话说，这是一对共轭复数。

分别对这两个等式的任意一个两边同时立方，他发现都能得到图三的结果。

然后，我们根据已知解x=4，得到a=2，b²=1，舍去负解得a=2，b=-1，于是

于是我们解决了卡丹问题：

如果你觉得整个过程更像是一种技巧，不止你一个人有这种感觉。在笔者眼里，√(-1)如同电影《Who Framed Roger Rabbit》中的动画角色——兔子罗杰（Roger Rabbit）一样，我们不曾想过有一天他能走出荧幕，跟真人互动。男主埃迪·瓦林特（Eddie Valiant）在演戏时能看到周围的一切却看不到兔子，正如当时数学家只知道实数而不知道√(-1)一样。但男主和兔子，都是一部电影中有生命的角色，正如实数和虚数：

不变的是数字，我们已是观众。