【数学探索】To proove:周长一定，面积最大的为圆

2022-03-19 19:21 作者:Lit_费米子の选择_on 0人读过 | 我要投稿

前提：（在平面中）

Proof：即寻找最优解，所以解答采用“调整”的思想

1.介绍凸包：

凸包（Convex Hull）是一个计算几何（图形学）中的概念。

在一个实数向量空间V中，对于给定集合X，所有包含X的凸集的交集S被称为X的凸包。X的凸包可以用X内所有点(X1，...Xn)的凸组合来构造.

在二维欧几里得空间中，凸包可想象为一条刚好包著所有点的橡皮圈。

用不严谨的话来讲，给定二维平面上的点集，凸包就是将最外层的点连接起来构成的凸多边形，它能包含点集中所有的点。

2.对于一个凹多边形，取其凸包。那么显然这个凸包所形成的凸多边形面积大于原凹四边形，同时周长也小于原周长。至此，我们证明了凹多边形非最优解！可以推广为边是曲线的情况，即想像一下下图中“AI”等边是曲边。

所以此时图形应该是“凸”的

3.再取边上的一点，作直线平分图形周长（由连续介质定理易证直线存在）。然后如果直线平分的左右部分面积不同，则可进行轴对称变换，使面积较小的一部分替换为另外一侧。此时周长未变，而面积增大。故可知直线平分的左右部分面积相等的图形才为最优解！

4.再取轴线一侧边上的一点，设其与轴线夹角为 $%5Calpha%20$ 。

若 $%5Calpha%EF%BC%9C90%5E%5Ccirc%20$ ，则可进行如下操作：将阴影部分绕 $M$ 点旋转，使 $%E2%88%A0_%7BLMN%E2%80%99%7D%20%EF%BC%9D%5Cbeta%20%EF%BC%9D90%5E%5Ccirc%20$ ，此时 $S_%7B%E2%96%B2LMN%E2%80%98%7D%20$ 面积更大，同时图形周长未变，那么此部分面积通过调整变得更大。