陶分第九天(补3.5习题)

明天整完第三章最后一节，就开始攻略附录。

3.5.10

并不复杂的问题，证明有好几步:1.知f等于f撇，证集合相等。2.若集合相等，可知对任意x，有两函数函数值相等，即证函数相等。 下面一问根据函数的定义来说明。如果存在一个关系，对于任意x属于定义域，值域内有唯一的y与之对应(没有限制这种“对应”为何物)，则存在一个函数不啦不啦不啦。 学这几章感觉函数和数字的关系其实不是很紧密。只要有集合和最抽象的对象就行了，函数能够自成体系。

3.5.11

分类公理好用的。 我们要得到的幂集公理承认一个由全体函数(定义域X值域为Y)组成的集合，先明确好目标。 这道题的主要处理思路是利用上一道题的结论，把满足要求的图找出来。 我们创造X×Y，不能利用习题3.5.2，因为习题3.5.2是用幂集公理推的。我们用3.4.1。此时根据引理3.4.9可以构造出一个集合，它里面的元素是全体X×Y的子集。 其实，这就是所有的平面图形的集合，对吧。。。我们接下来要做的，筛出能作为函数图像的图。也就是利用分类公理，构造一个子集，里面是满足垂线测试的所有图。 根据上一题，一个图对应唯一的函数，利用替代公理全换了。结束

3.5.12

，

3.5.13

额，这题没答案，看的迷糊，过几天再看看。 对比前面的递归定义，这个n可能并不是“值”之类的东西，而是函数的标签之类的东西。就是我们有一个函数大家族之类之类的。比如第一个函数叫“x+1”，第二个函数叫“x+2”，这个n就是调节这里的“1”，“2”的。。 二者的原文: 1.∀n∈N:∃fₙ:N→N，∃c∈N⇒∀n∈N:∃!aₙ∈N:a₀=c∧aₙ₊₊=fₙ(aₙ) 逻辑符号更suang口一点罢。 2.∃f:N×N→N，c∈N⇒(a:N→N):a(0)=c∧∀n∈N:a(n++)=f(n，a(n)) 感觉表达式写错了。。但不重要，写成这样的话，就可以通过逻辑公式判断命题真假情况，进而反过来理解原来的说法了。 首先是1。它提供了和每个自然数配套的f，并且每个f能把自然数映射到自然数上。可以这么想，把函数看成一个工具，比如扳手之类的，它接受一个东西，然后把它改一改，返回一个新的东西。我们现在有的就是一个工具箱，里面的工具各不相同，并且都适用范围广泛(都能从N→N) 同时，还给了一个常数。 怎么理解结论呢? 这应该结合证明和应用了。emm，现在的感觉告诉我，最后半句应该是限定fn或者什么函数的。。 我们看看应用:(加法定义) 令m是一个自然数(对应c，而不是n) 定义“m加上0”为:0+m:＝m(对应a0) 归纳性的假设我们已经…… 定义“m加上n++”为:(n++)+m:＝(n+m)++(对应an++) 嗯，然后就结束了，我们可以得知已经完成了加法的定义，在后面来看这是真的，对于任意的n，和一个给定的m，我们都能得出来唯一的结果。 emmmmmm…… 所以，我们要证的其实是这个“唯一”嘛。 也就是说，先不管函数，我们其实是

要求

了an满足a0＝c，而且an++＝fn(an)，接着就证明了这样的an是唯一的。。。 如果你和我的思路一致的话，那你也应该意识到了，这个an写成一个函数应该更方便说明一点。。 我们有了一系列确定的函数f，还有一个常数c，现在弄出一个函数a，满足了a(0)=c，a(n++)＝fn(a(n))，当然，它把每个自然数都映射到了唯一的自然数上(是函数，所以唯一)。这并不多见，因为大多数函数的后一个值都不能由前一个值通过某种特定的映射得到(而如果能这样做的话，我们就可以将后一个函数值通过前一个值和函数f来表达出来)。。事实上，我们可以证明出来，这样的函数a应该只有一个。 这就是那个1的意思，以及和2的关系了。应该很容易看出来了吧。 所谓的fn其实就是（n+?）++吧。。也许? ok，现在结合2的更标准的定义定义，重新写一下两个数相加的定义: 定义“n加上m”是个函数，比如叫做a:N→N。定义f:N×N→N是这样的函数:f(n，a(n))=(n+a(n))++。假设有个自然数m。 (写法上，“n加上m”中的n和a（n）括号里的变量一致，并且m与给定常数一致) 那么可以知道，如果a要是满足:a(0)＝m，a(n++)＝f(n，a(n))，那么a就是唯一确定的。（这也是我们真正要证明的东西） 嗯，我们说“n加上m”

是

“a”，那么自然可以等效替换。接着，就可以得到课本上的定义了 随后的证明不算很难，在了解了题目含义之后。 有点当初学归纳法时候的感觉。就是，会了就觉得不难。 今天写的有点乱，抱歉。